Атомная физика
5. Теория атома 5.5. Векторная модель атома
Скачать Содержание

5.5. Векторная модель атома

Обсудим качественные изменения, вносимые спином электрона в теорию атома. Полный момент импульса J складывается теперь из орбитальной L и спиновой S частей. Возникает новое квантовое число j, принимающее для одноэлектронного атома два значения

(при l = 0 полный момент импульса j = 1/2). Эти значения соответствуют двум случаям, когда спин параллелен и антипараллелен орбитальному моменту импульса. Необходимо ввести новые обозначения уровней: добавляется индекс, указывающий величину полного момента импульса: уровни обозначают , где n — главное квантовое число, а х — прежний спектроскопический символ для обозначения величины азимутального квантового числа  l. Свойства полного момента те же, что и у орбитального и спинового моментов. Как следствие нового вида взаимодействия возникает более богатая структура атомных спектров, наблюдавшаяся на опыте. Проиллюстрируем это на примере первых возбужденных уровней атома водорода (см. табл.).

Таблица

Схема нижних уровней атома водорода

n = 1

l = 0

j = 1/2

1s1/2

n = 2

l = 0

j = 1/2

2s1/2

l = 1

j = 1/2

2p1/2

j = 3/2

2p3/2

n = 3

l = 0

j = 1/2

3s1/2

l = 1

j = 1/2

3p1/2

j = 3/2

3p3/2

l = 2

j = 3/2

3d3/2

j = 5/2

3d5/2

Энергия уровней уже выражается не формулой Бора, но содержит поправки, относительная величина которых порядка величины . Мы не станем приводить эту формулу, но отметим ее характерное свойство: в отсутствие внешних полей энергия по-прежнему не зависит от орбитального момента (квантового числа l ), но лишь от полного момента импульса (квантового числа j). Значит, уровни  и  вырождены (их энергии совпадают). Уровень , как оказывается, лежит чуть выше.

 

Рис. 5.21. Дублетная структура серии Лаймана

 

Рис. 5.22. Схема переходов, определяющих тонкую структуру линии серии Бальмера

Состояния многоэлектронных атомов классифицируются подобным образом. Если L — суммарный орбитальный момент всех электронов, а S их суммарный спиновый момент, то полный момент системы определяется как

Соответственно и обозначается это состояние как . Под X понимается тот же буквенный (спектроскопический) символ, обозначающий значение орбитального момента количества движения (только в этом случае используется заглавная буква). Верхний левый индекс равен числу спиновых состояний (для одиночного электрона в нем не было необходимости, так как его спин всегда равен 1/2).

Итак, пусть дано состояние . Возникает вопрос: чему равен магнитный момент системы ? Ясно, что он направлен вдоль полного момента количества движения J, а его размерность и порядок величины определяется магнетоном Бора . Тогда

 

(5.18)

Для гиромагнитного отношения (обобщение аналогичной величины, связанной с орбитальным и спиновым моментами) можно тогда написать выражение вида

Коэффициент пропорциональности g называется множителем Ланде или просто g-фактором. Для орбитального магнитного момента g = 1, для спинового магнитного момента g = 2. Задача о магнитном моменте атома сводится к нахождению зависимости g от квантовых чисел J, L, S.

 

Рис. 5.23. Альфред Ланде, 1888–1976.

Ответ можно получить с помощью простой полуклассической модели, получившей название векторной модели атома. Сначала возведем в квадрат уравнение, связывающее J с L и S:

Квадраты моментов можно выразить через соответствующие квантовые числа по уже известным нам правилам. Находим тогда выражение для скалярного произведения

 

(5.19)

Полный магнитный момент атома складывается из магнитного момента, создаваемого суммарным орбитальным моментом количества движения, и суммарного спинового магнитного момента. Но спин, как уже говорилось, обладает двойным магнетизмом. Поэтому с учетом уравнения (5.18) можно записать

Сокращая общий множитель  и умножая обе части на

(в правой части J заменен на L + S), получаем

Если подставить сюда выражение (5.19) для скалярного произведения L·S, то получим окончательный ответ

 

(5.20)

Убедимся, что эта формула воспроизводит уже известные результаты. Если полный спиновый момент равен нулю, то полный момент совпадает с орбитальным. Подставляя в (5.20) значения S = 0, J = L, получаем g = 1, как и должно быть для магнитного момента, создаваемого чисто орбитальным движением электронов. В другом предельном случае нулю равен орбитальный момент, и полный момент количества движения равен спиновому. Подставляя в (5.20) значения L = 0, J = S, находим g = 2 в полном согласии с двойным магнетизмом спинового момента. Именно такой случай реализуется для элементов первой группы в опыте Штерна — Герлаха. Упоминалось, что для сложных атомов (например, серы) расщепление пучков будет более сложным. Теперь мы можем предсказать результат опыта количественно. Основное состояние серы , то есть S = 1, L = 1, J = 2. Из формулы (5.20) для множителя Ланде легко получаем g = 3/2, так что магнитный момент атома равен

Проекция магнитного момента на ось z

определяется квантовым числом  проекции полного момента количества движения, которое при J = 2 принимает пять различных значений в соответствии с правилами квантования момента:

Теперь, используя решение примера 3 в разделе 5.4, можно рассчитать расщепление пучка атомов серы в опыте Штерна — Герлаха. Ясно, что пучок расщепится на пять компонентов, причем одна из них  не будет отклоняться магнитным полем.

Видео 5.1. Атом в магнитном поле. Нормальный эффект Зеемана — наблюдение поперек поля.

Видео 5.2. Атом в магнитном поле. Нормальный эффект Зеемана — наблюдение вдоль поля.

Видео 5.3. Эффект Зеемана — мощный инструмент исследования атома.