6.1. Вывод формулы М. Планка по А. Эйнштейну

Ранее мы обсудили, что атомы и ансамбли атомов могут находиться в различных состояниях, характеризуемых набором квантовых чисел. Переход из одного энергетического состояния  в другое  сопровождается поглощением или испусканием кванта электромагнитного излучения — фотона, обладающего энергией

где  — частота излучения. Если , то мы имеем дело со спонтанным (самопроизвольным) переходом атома с более высокого на более низкий уровень, в результате чего испускается фотон с энергией

.

Схематически этот процесс спонтанного излучения можно изобразить в виде «реакции»

где звездочка указывает на возбужденное состояние атома А.

Если же , то мы имеем дело с вынужденным переходом, сопровождающимся поглощением фотона, энергия

которого идет на увеличение энергии атома (перевод его на более высокий, возбужденный уровень):

.

В 1918 г. А. Эйнштейн обратил внимание на то, что существуют и «испускательные» переходы другого типа, которые происходят под действием внешнего электромагнитного излучения и вероятность которых возрастает с увеличением интенсивности излучения. В таком процессе фотон падает на возбужденный атом и заставляет его перейти в низшее состояние с излучением другого фотона. В конечном итоге в системе оказывается два фотона — начальный и излученный:

.

Возникающее в результате таких переходов излучение называется вынужденным или индуцированным излучением. Спонтанное излучение хаотично по направлениям и фазам испускаемых фотонов, так как излучающие атомы независимы. Индуцированное же излучение должно быть по своим характеристикам совершенно тождественно с тем внешним излучением, которое, проходя через вещество, его породило. А именно: индуцированное излучение имеет ту же частоту, направление и поляризацию, что и вынуждающее внешнее излучение. Фазы испускаемых фотонов скоррелированы с вынуждающими колебаниями, то есть индуцированное излучение когерентно.

Вероятности всех трех типов процессов (поглощения, спонтанного и вынужденного излучений) рассчитываются в квантовой электродинамике. Во времена Эйнштейна эта теория еще не была создана, и он применил для анализа проблемы наглядные термодинамические соображения. Далее мы для простоты рассмотрим набор из N атомов, имеющих всего два уровня энергии  и    — так называемую двухуровневую среду. Пусть в момент времени t какие-то  из общего числа атомов находятся в более высоком энергетическом состоянии 2, и пусть вероятность спонтанного излучения отдельного атома в единицу времени равна . Тогда изменение числа атомов в состоянии 2 за малое время dt составит

Знак минус указывает на убыль числа атомов на уровне 2. Величина  называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Теперь интегрированием легко получаем

где  — число атомов в состоянии 2 в начальный момент времени. По смыслу формулы величина

есть среднее время жизни атома в возбужденном состоянии (то есть время, за которое число возбужденных атомов уменьшится в e раз). Этот параметр определяет вероятность процесса спонтанного излучения для данного типа атомов.

Представим теперь, что атомы находятся в равновесии с излучением частотой

и спектральной плотностью энергии  (плотностью энергии в единичном интервале частот). Спектральная плотность энергии пропорциональна числу фотонов данной частоты. Чем больше фотонов, тем вероятнее поглощение одного из них атомом. Поэтому для вероятности процесса вынужденного поглощения излучения атомом в единицу времени можно написать выражение

где коэффициент Эйнштейна  характеризует свойства данного атома. Для числа переходов в возбужденное состояние за время dt имеем

Для вероятности индуцированного излучения Эйнштейн предложил использовать аналогичную формулу

с каким-то другим, вообще говоря, коэффициентом . Складывая  с вероятностью спонтанного перехода, получаем полную вероятность перехода из состояния 2 в состояние 1 в единицу времени

так что число переходов из возбужденного состояния за время dt равно

При термодинамическом равновесии вещества и электромагнитного поля должен соблюдаться баланс между процессами испускания и поглощения света, то есть равенство полного числа актов испускания света и актов его поглощения. Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, температура  стенок которой поддерживается постоянной. Если в состоянии равновесия числа переходов 2–1 и 1–2 равны

то мы получаем

Распределение атомов по энергиям при термодинамическом равновесии  подчиняется закону Больцмана

откуда

При повышении температуры спектральная плотность энергии должна неограниченно возрастать. Так будет лишь при условии , то есть получаем, что коэффициенты Эйнштейна для вынужденного поглощения и индуцированного излучения света равны. Отсюда

Заметим также, что коэффициенты Эйнштейна не зависят от температуры, ибо относятся к отдельным актам поглощения-испускания фотонов атомом, а температура — это характеристика ансамбля атомов. Тогда в пределе высоких температур мы получаем из (6.11) выражение

Из сопоставления предыдущей формулы с законом Рэлея — Джинса следует, что

Подставляя (6.13) в (6.11), мы получаем формулу Планка (27.26) для спектральной плотности излучения черного тела. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна, выведенные им из простых термодинамических соображений, были подтверждены впоследствии точными расчетами.

Разделив  на число  типов колебаний в единице объема в единичном интервале частот, получаем среднюю энергию одного типа колебания (фотона) частотой :

Разделив, в свою очередь, это выражение на энергию фотона, находим среднее число фотонов данной частоты при равновесии:

С этой формулой и ее аналогами мы еще встретимся в нашем курсе.