О курсе

Данный курс является продолжением курса «Математические модели механики сплошной среды». В нем рассматривается метод группового анализа дифференциальных уравнений, впервые предложенный в работах норвежского математика Софуса Ли. Данный метод может применяться при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Рассматриваются группы преобразований для различных дифференциальных уравнений и находятся инвариантные решения.

Лекция № 1

В лекции вводится понятие однопараметрической группы преобразований Ли и приводятся примеры таких групп. Также вводятся понятия касательного векторного поля, уравнений Ли, инвариантов группы преобразований, инфинитезимального оператора группы преобразований. Рассматриваются инвариантные уравнения.

Лекция № 2

В лекции даются формулы продолжения для анализа дифференциальных уравнений, объясняется алгоритм группового анализа дифференциальных уравнений. Рассматриваются группы преобразований ОДУ второго порядка, интегрирование ОДУ первого порядка, второго порядка и выше.

Лекция № 3

В лекции рассматриваются группы преобразований для линейного уравнения теплопроводности, простейшего нелинейного уравнения, уравнения Бюргерса, операторы для нелинейного уравнения теплопроводности и операторы группы, допускаемые уравнением Кортевега — де Вриза.

Лекция № 4

В лекции рассматриваются понятия алгебры Ли и подалгебры Ли. Описывается метод интегрирования Софуса Ли ОДУ второго порядка. Приводится пример интегрирования ОДУ второго порядка. Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения с заданной симметрией.

Лекция № 5

В лекции рассматривается поиск инвариантных решений линейного уравнения теплопроводности. Рассказывается о распространении нелинейной тепловой волны из точечного источника. Находятся приближенные решения задачи о нелинейной теплопроводности при заданной температуре на границе и при заданном потоке на границе.

Лекция № 6

В лекции рассматривается осесимметричная задача о фильтрации газа в пористой среде при мгновенном точечном источнике, а также одномерная задача о фильтрации газа в пористой среде. Находятся инвариантные решения уравнения Бюргерса, уравнения Кортевега — де Вриза (обычного и модифицированного) и уравнения Sin-Гордона.