Правило Лопиталя
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале (a; b). Причём всюду в этом интервале производная g′(x) ≠ 0. Пусть также при x → a + 0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того
Тогда также и
Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно доопределить по непрерывности на промежуток [a; b), полагая
f(a) = 0 и g(a) = 0.
Проверим определение предела для отношения функций и числа A. Возьмём положительное число ε. Из определения предела следует, что существует такой интервал (a; bε), в котором
Покажем, что этот же интервал отвечает числу ε в определении предела и для отношения функций.
В самом деле, пусть
x ∈ (a; bε). По теореме Коши для отрезка [a; x]
6/36
