Выпуклость функции
Дифференцируемая в интервале (a; b) функция f(x) выпукла тогда и только тогда её производная возрастает.
(2) Производная функция возрастает. По теореме Лагранжа
f(x) − f(x0) = f ′(ξ)(x − x0)
a) x < x0 ⇒ ξ < x0 ⇒ f ′(ξ) ≤ f ′(x0)
f(x) − f(x0) = f ′(ξ)(x − x0) ≥ f ′(x0)(x − x0)
f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x − x0)
б) x > x0 ⇒ ξ > x0 ⇒ f ′(ξ) ≥ f ′(x0)
f(x) − f(x0) = f ′(ξ)(x − x0) ≥ f ′(x0)(x − x0)
f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x − x0)
в) x = x0, неравенство f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x − x0) превращается в равенство.
6/26
