Условие постоянства функции на промежутке

Виды промежутков

(a, b) = {x: a < x < b}

[a, b) = {x: a ≤ x < b}

(a, b] = {x: a < x ≤ b}

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b}

(−∞, b) = {x: x < b}

(−∞, b] = {x: x ≤ b}

(a, +∞] = {x: x > a}

[a, +∞] = {x: x ≥ a}

[−∞, +∞] = {x: x ∈ R}

Любые две точки промежутка являются концами отрезка целиком
лежащего в этом промежутке.

Функция постоянна на промежутке тогда и только тогда, когда её производная равна нулю на этом промежутке.

(1) f(x) = const ⇒ f ′(x) = (const)′ = 0

(2) f ′(x) = 0 f(x₁) – f(x₂) = f ′(ξ)(x₁ – x₂) = 0 ⇒ f(x₁) = f(x₂)

Следствие

Производные двух функций равны тогда и только тогда, когда эти функции отличаются на постоянную.

28/30