Счётные и несчётные множества. Примеры

Теорема

Множество вещественных чисел на отрезке [0; 1] несчётное.

Доказательство

Предположим противное: все числа на отрезке можно переномеровать [0; 1] = {x₁, x₂, …, x_n, …}.

Разобьём отрезок . Выберем тот отрезок, который не содержит x₁. Разобьём его на три отрезка и выберем тот, который не содержит x₂ и т. д. Построенная система вложенных отрезков имеет общую точку x ∈ [0; 1] и не совпадающую ни с одним x_n.