Классы функций интегрирования по частям

5.

$$J = \int e^{ax} \sin{(bx)}dx = \frac{e^{ax} \left ( a \sin{(bx)} - b \cos{(bx)} \right ) }{a^2 + b^2} + C$$ $$J = \int e^{ax} \cos{(bx)}dx = \frac{e^{ax} \left ( a \cos{(bx)} + b \sin{(bx)} \right ) }{a^2 + b^2} + C$$

Пример

$$J = \int e^{ax} \sin{(bx)}dx = \begin{vmatrix} u = e^{ax}; du = e^{ax}dx \\ d \nu = \sin{bx}; \nu = \frac{1}{b} \sin{bx} \end{vmatrix} = \frac{1}{b}e^{ax} \cos{(bx)} + \frac{a}{b} \int \cos{(bx)}e^{ax}dx =$$ $$= \begin{vmatrix} u = e^{ax}; du = e^{ax}dx \\ d \nu = \cos{bx}dx; \nu = \frac{1}{b} \sin{bx} \end{vmatrix} = \frac{1}{b}e^{ax} \cos{(bx)} + \frac{a}{b^2} e^{ax} \sin{(bx)} - \frac{a^2}{b^2} \int e^{ax}\sin{(bx)}dx =$$ $$= \frac{1}{b}e^{ax} \cos{(bx)} + \frac{a}{b^2} e^{ax} \sin{(bx)} - \frac{a^2}{b^2} J \Rightarrow$$ $$J = \frac{e^{ax} \left ( \frac{a}{b^2} \sin{(bx)} - \frac{1}{b} \cos{(bx)} \right )}{1 + \frac{a^2}{b^2}} + C = \frac{e^{ax} \left ( a \sin{(bx)} - b \cos{(bx)} \right )}{a^2 + b^2} + C$$