Необходимые и достаточные условия интегрируемости

Необходимое условие интегрируемости

Теорема

Если функция f(x, y) интегрируема на области G, то она ограничена на ней.

Доказательство

От противного: предположим, что функция f(x, y) неограничена. Тогда она неограничена хотя бы на одном и существует последовательность точек , для которых . Последовательность интегральных сумм, для которых не меняются точки для и , неограничена, поскольку все слогаемые не меняются, кроме одного, которое становится как угодно большим. Последнее противоречит интегрируемости функции.

Достаточные условия интегрируемости

Теорема

Область G — измеримый компакт, f(x, y) — неприрывна на G. Тогда функция f(x, y) интегрируема на G.

Доказательство

Из неприрывности функции f (x, y) на компакте следует, что она равномерна неприрывна на G.

Возьмём два разбиения с параметром и их объединение , содержащее прямоугольники  такие, чтоб любой из прямоугольников разбиений является их объединением.