Несобственные интегралы

Следствие 11.2

Условие

1) f(z) аналитична в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек .

2) zf(z) 0 при z → ∞, Im z > 0 равномерно относительно arg z.

Утверждение

Верны формулы

I = f(x)dx = 2πi Res (f(an));

(11.5)

Если f(x) — чётная функция, то

I = f(x)dx = f(x)dx = πi Res (f(an)).

(11.6)

Доказательство

Равенство (11.5) получается по той же схеме, по которой решался пример 11.3. А (11.6) следует из (11.5) и того факта, что интеграл по симметричному относительно нуля промежутку [−R, R] от чётной функции равен удвоенному интегралу от неё по правой половине [0, R] этого промежутка.