2. Аннотация курса

Данный курс является первым разделом курса «Математические модели механики сплошной среды». В нем объясняется понятие математической модели, отличия линейных и нелинейных моделей. Исследуются свойства известных нелинейных дифференциальных уравнений, находятся их простейшие решения.

Лекция № 1

В лекции вводится понятие математической модели, приводятся примеры моделей. Объясняется различие между линейной и нелинейной математической моделью, выводится система уравнений газовой динамики.

Лекция № 2

В лекции рассматриваются линейное и нелинейное уравнение теплопроводности, уравнение фильтрации газа в пористой среде, уравнение Бюргерса. Даются определения общих, частных и точных решений нелинейных ДУ. Рассказывается о размерных и безразмерных переменных.

Лекция № 3

В лекции находятся простейшие решения уравнения Бюргерса. Рассказывается об уравнении Кортевега-де Вриза для описания волн на воде и находятся его простейшие решения.

Лекция № 4

В лекции рассказывается о парадоксе Ферми - Паста - Улама, об уравнении Буссинеска и модифицированном уравнении Кортевега-де Вриза (мКдВ). Находятся простейшие решения мКдВ. Вводится понятие иерархии уравнений КдВ и мКдВ. Рассказывается об уравнениях Бюргерса-КдВ, Колмогорова – Петровского – Пискунова (Фишера) и Курамото - Сивашинского.

Лекция № 5

В лекции вводятся понятия фазовой и групповой скорости волн. Рассказывается о нелинейном уравнении Шредингера для огибающей волнового пакета и находятся его простейшие решения. Рассматривается уравнение Гинзбурга-Ландау и уравнение Sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле, находятся его простейшие решения.

Лекция № 6

В лекции рассматривается система Лоренца для описания конвекции жидкости, модель Хенона – Хейлеса для исследования движения звезды, задача о движении твердого тела с неподвижной точкой и описание электрического поля в полупроводниковом диоде.