Физические системы и их математические модели

В общем виде математическая модель такой системы может быть записана следующим образом:

$$\vec{u_{вых}}(t)=T\vec{u_{вх}}(t),$$

где $T$ — системный оператор, результатом воздействия которого на сигнал $\vec{u_{вх}}(t)$ является $\vec{u_{вых}}(t)$ .

В общем случае входной и выходной сигналы представляются в виде $m$ – и $n$ – и мерных векторов:

$$\vec{u_{вх}}(t)=\{u_{вх1}(t),u_{вх2},...,u_{вхт}(t)\}.$$

Классификация физических систем на основе существенных свойств их математических моделей:

стационарные и нестационарные системы;
линейные и нелинейные системы;
сосредоточенные и распределённые системы.

Физические системы и их математические модели

Система называется стационарной, если её выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает сигнал, то есть:

$$\vec{u_{вых}}(t±t_{0})=T\vec{u_{вх}}(t±t_{0})$$

при любом значении $t_{0}$

Стационарная система называется также системой с постоянными параметрами. Если же свойства системы не инвариантны относительно начала отсчёта времени, то такую систему называют нестационарной (системой с переменными параметрами, или параметрической системой).

Физические системы и их математические модели

Система называется линейной, если в ней выполняется принцип суперпозиции, математически записываемый в виде следующих равенств:

$$T\left[\vec{u_{вх1}}(t)+\vec{u_{вх2}}(t)\right]=T\vec{u_{вх1}}(t)+T\vec{u_{вх2}}(t),$$

$$T\left[α\vec{u_{вх}}(t)\right]=αT\vec{u_{вх}}(t).$$

Если эти условия не выполняются, то система является нелинейной. Строго говоря, все физические системы, используемые в измерительной технике, в той или иной степени не линейны. Однако существует много систем, которые весьма точно описываются линейными моделями.

Из принципа суперпозиции и из условия стационарности вытекает важное следствие — гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, сохраняет свою форму, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.

Сосредоточенные и распределённые системы

Критерием этой классификации является соотношение физических размеров элементов системы $l$ и рабочей $λ$ длины волны генерируемых или транслируемых сигналов.

Если характерный размер системы $l≪λ$, то система относится к классу сосредоточенных. Свойства сосредоточенных систем слабо зависят от конфигурации соединительных проводников, поэтому для их описания используют так называемые принципиальные схемы.

Так, в радиотехнике сосредоточенные системы широко применяют до рабочих частот в несколько сотен МГц. Лишь при частотах свыше тысячи МГц (СВЧ-диапазон) на смену сосредоточенным системам приходят системы с распределёнными параметрами.

Динамические характеристики линейных стационарных систем

Дифференциальное уравнение линейной системы, описывающее связь между мгновенными значениями входного и выходного сигналов, имеет вид:

$$a_{0}u_{вых}(t)+a_{1}\frac{du_{вых}(t)}{dt}+a_{2}\frac{d^{2}u_{вых}(t)}{dt^{2}}+...+a_{n}\frac{d^{n}u_{вых}(t)}{dt^{n}}=$$

$$b_{0}u_{вх}(t)+b_{1}\frac{du_{вх}(t)}{dt}+b_{2}\frac{d^{2}u_{вх}(t)}{dt^{2}}+...+b_{n}\frac{d^{n}u_{вх}(t)}{dt^{n}}.$$

Если динамическая система линейна и стационарна, то все коэффициенты этого уравнения $a_{i}$ и $b_{j}$ — постоянные вещественные числа. Порядок этого уравнения $n$ принято называть порядком динамической системы.

Частотная характеристика линейной системы

Введём коэффициент, определяемый как отношение преобразованных по Фурье выходного сигнала к входному:

$$K(j\omega)=\frac{F_{0}\left[u_{вых(t)}\right]}{F_{0}\left[u_{вх(t)}\right]}=\frac{b_{0}+b_{1}(j\omega)+b_{2}(j\omega)^{2}+...b_{m}(j\omega)^{m}}{a_{0}+a_{1}(j\omega)+a_{2}(j\omega)^{2}+...a_{n}(j\omega)^{n}}$$

Коэффициент называют частотной характеристикой динамической системы или частотным коэффициентом передачи.

Частотная характеристика динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной $j\omega$.

Частотная характеристика линейной системы

Значения коэффициентов $a_{i}$ и$b_{j}$ определяются физическими свойствами и параметрами динамической системы, а их знание позволяет найти K(j\omega).

При известном (регистрируемом) сигнале на выходе измерительной системы и известной частотной характеристике нетрудно получить с помощью обратного преобразования Фурье функцию, характеризующее входное воздействие на эту систему:

$$u_{вх}(t)=\frac{1}{2π}\int\limits_{−\infty}^{\infty}\frac{F_{0}\left[u_{вых}(t)\right]}{k(j\omega)}e^{j\omega t}d\omega .$$

Частотная характеристика линейной системы

Частотную характеристику системы $K(j\omega)$ удобно представлять в форме:

$$K(j\omega )=\left|K(j\omega)\right|e^{jθ(\omega)}.$$

Модуль $\left|K(j\omega)\right| = K(\omega)$ называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) системы, а аргумент $θ(\omega)$ — фазочастотной характеристикой (ФЧХ) системы.

Записав $K(j\omega ) = A(\omega) – jB(\omega)$, можно определить АЧХ и ФЧХ системы:

$$K(\omega)=\sqrt{\left[A(\omega)\right]^{2},θ(\omega}=−\mathrm{arctg}\frac{B(\omega)}{A(\omega)}.$$

Очевидно, что амплитудно-частотная характеристика системы является чётной функцией частоты, а фазочастотная характеристика системы — нечётной функцией частоты.

Физическая реализуемость систем

Далеко не каждая функция $K(j\omega)$ может являться частотным коэффициентом передачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что должна быть чётной функцией частоты, то есть:

$$K(j\omega)=K*(−j\omega ).$$

Запишем без доказательства условие физической осуществимости системы в виде критерия Пэли — Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл:

$$\int\limits_{−\infty}^{\infty}\frac{|\mathrm{ln}|K(k\omega )||}{1+\omega ^{2}}d\omega<\infty$$

Частотный коэффициент передачи многозвенной системы

Для последовательно соединённых звеньев сложной измерительной системы (каскадное соединение) справедливо выражение:

$$K(j\omega)=\prod_{i=1}^{n}K_{i}(j\omega),$$

где $K(j\omega)$ — частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев $(i = 1, 2, …, n)$.

Для параллельно соединённых звеньев можно записать:

$$K(j\omega)=\sum\limits_{i=1}^{n}K_{i}(j\omega).$$

Физические измерительные системы и их математические модели

Физические системы и их математические модели

Физические системы и их математические модели

Физические системы и их математические модели

Сосредоточенные и распределённые системы

Динамические характеристики линейных стационарных систем

Частотная характеристика линейной системы

Частотная характеристика линейной системы

Частотная характеристика линейной системы

Физическая реализуемость систем

Частотный коэффициент передачи многозвенной системы