1.1. Тепловое излучение

Поэтому характеристики теплового излучения (интенсивность, спектральный состав) зависят от температуры излучающего вещества. Все прочие виды электромагнитного излучения существуют за счет других, не тепловых, форм энергии. Тепловое излучение — единственный вид излучения, которое может находиться в термодинамическом равновесии с веществом и само быть при этом в состоянии термодинамического равновесия. Ниже будет рассматриваться главным образом термодинамически равновесное тепловое излучение.

Предположим, что нагретое тело помещено в полость, стенки которой поддерживаются при некоторой постоянной температуре  Если в полости нет никакой среды (газа), то обмен энергией между оболочкой и телом происходит только за счет процессов поглощения, испускания и отражения теплового излучения веществом стенки полости. С течением времени температура тела станет равной температуре оболочки и наступит динамическое равновесие — в единицу времени тело будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Очевидно, что при этом и излучение, заполняющее полость, будет находиться в равновесии, как с телом, так и со стенками полости. Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда температура тела и его внутренняя энергия начнут убывать, что приведет к уменьшению излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, то есть тело будет излучать меньше энергии, чем поглощает, то температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким образом, нарушение равновесия между телом и тепловым излучением вызывает процессы, направленные в сторону восстановления равновесия.

 

Рис. 1.1. Нагретое тело в полости с идеально отражающими стенками

Представим теперь то же самое тело, помещенное внутри другой оболочки, отличающейся размерами, формой или материалом, из которого она сделана. Будем поддерживать ту же самую температуру оболочки. В системе пойдут аналогичные процессы установления равновесия, в результате которых тело внутри оболочки нагреется до той же самой температуры Т. Для тела внутри оболочки ничего не изменилось: оно находится при той же самой температуре, что и прежде, и, следовательно, будет излучать ту же самую энергию. Так как тело находится в равновесии с излучением внутри оболочки, мы приходим к выводу, что характеристики этого излучения не зависят от свойств оболочки, но лишь от ее температуры. Это «стандартное», термодинамически равновесное излучение называется излучением абсолютно черного тела.  О том, откуда такое название и что такое абсолютно черное тело будет сказано ниже.  Равновесное излучение можно охарактеризовать плотностью энергии , зависящей только от температуры. 

Тепловое излучение состоит из электромагнитных волн разных частот. Полная плотность энергии складывается из плотностей энергий этих волн. Для более детальной характеристики излучения вводят дифференциальную величину — спектральную плотность энергии излучения .  

Иными словами, если обозначить через  энергию излучения в единице объема, приходящуюся на волны с частотами от  до , то

Плотность энергии есть сумма спектральных плотностей энергии по всем возможным частотам, то есть выражается интегралом

Итак, в полости, существует стандартное излучение с плотностью энергии . Рассмотрим теперь тело, находящееся с ним в равновесии. 

Энергетическая светимость зависит от температуры тела. Тепловое излучение состоит из волн различных частот. Для характеристики теплового излучения важно знать, какая энергия, в каком диапазоне частот излучается телом. Поэтому вводят дифференциальную характеристику , называемую испускательной способностью тела, являющуюся  спектральной плотностью потока энергии излучения.  

Чтобы получить энергетическую светимость тела, надо проинтегрировать испускательную способность по всем частотам:

 

Нагретое тело не только испускает энергию, но и поглощает ее. Для описания способности тела поглощать энергию падающего на его поверхность излучения вводится величина, которая так и называется: поглощательная способность.

Поглощательная способность равна той доли, которую — в заданном спектральном интервале  — поглощенная энергия излучения  составляет от падающей  энергии излучения. Другими словами:

 

Очевидно, что поглощательная способность тела является безразмерной величиной, не превышающей единицу. 

 Для абсолютно черного тела

Тел с такими свойствами в природе не бывает, это очередная физическая идеализация.

 

Рис. 1.2. Спектр излучения абсолютно чёрного тела (чёрная линия) при температуре 5250 °С хорошо моделирует излучение Солнца. Красным цветом показаны результаты измерений на уровне моря, жёлтым — в верхней атмосфере.

Будем поочередно помещать в полость различные тела. Все они находятся в одинаковых условиях, в окружении одного и того же излучения. Обозначим энергию, падающую в единицу времени на единицу поверхности тела в единичном интервале частот. Согласно определению поглощательной способности тело поглощает энергию   В состоянии равновесия эта энергия должна быть равна испущенной телом энергии:

Различные тела в полости имеют разную поглощательную способность, следовательно, у них будет и разная испускательная способность, так что отношение r_w /а_w не зависит от конкретного тела, помещенного в полость:

С другой стороны, испускательная способность тела не зависит от полости, в которую оно помещено, но лишь от свойств тела. Таким образом, функция есть универсальная функция частоты и температуры, не зависящая ни от свойств полости, ни от характеристик тела в ней. Соотношение (1.2) выражает закон Кирхгофа. 

Видео 1.1 Походная фляга или закон Кирхгофа.

Строго говоря, сформулированное выше утверждение справедливо в условиях термодинамического равновесия, наличие которого здесь и ниже всегда предполагается.

Для абсолютно черного тела

откуда следует физическая интерпретация универсальной функции Кирхгофа : она представляет собой испускательную способность абсолютно черного тела, то есть

(Характеристики абсолютно черного тела будем помечать звездочкой, а само тело называть нередко просто «черным», а не абсолютно черным).

 

Рис. 1.3. Густав Роберт Кирхгоф (1824–1887)

Установим теперь связь между испускательной способностью черного тела и спектральной плотностью  стандартного излучения в полости (выше мы назвали его излучением черного тела). Сравнивая размерности этих величин, видим, что отношение  имеет размерность скорости. Единственная величина, имеющая размерность скорости, которая ассо­циируется с электромагнитными волнами в вакууме, — это скорость света . Поэтому искомое соотношение должно иметь вид

Найдем безразмерный коэффициент пропорциональности  в этой формуле. В качестве модели абсолютно черного тела возьмем замкнутую полость с небольшим отверстием s (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Полocть с небольшим отверстием — реализация черного тела

Видео 1.2. Как белое сделать черным. Natürlich!

Луч света, падающий внутрь этой полости через отверстие s, претерпевает многократное отражение. При каждом отражении стенки полости поглощают часть энергии. Поэтому интенсивность луча света, выходящего из отверстия, во много раз меньше интенсивности входящего луча. Чем больше отношение площади полости к площади отверстия, тем ближе такое тело к абсолютно черному. Поэтому отверстие в полости излучает как абстрактное черное тело.

С другой стороны, внутри полости существует равновесное тепловое излучение со спектральной плотностью U. Подсчитаем энергию dW₀ , выходящую из отверстия площадью s в телесном угле  в направлении, заданном углом . Во-первых, в данном направлении за время  может выйти только энергия, содержащаяся в наклонном цилиндре с площадью основания s и длиной образующей с (рис. 1.5-1).

Рис. 1.5. Тепловое излучение из отверстия в полости 

Объем такого цилиндра равен

Содержащаяся в нем энергия теплового излучения равна

Но не вся она распространяется под углом . Тепловое излучение распространяется по всем направлениям с равной вероятностью (рис. 1.5-2). Поэтому в телесный угол  попадет только часть энергии (мы обозначим эту долю как ), пропорциональная величине телесного угла

Так как полный телесный угол равен , имеем

Теперь осталось проинтегрировать  по углам  и , чтобы получить полную энергию , выходящую из отверстия полости. Обращаем внимание: излучение падает на отверстие только из левого полупространства, так что полярный угол меняется в пределах от нуля до  (угол  меняется как обычно от 0 до ). Интегрирование по  дает множитель , интегрируя по , окончательно получаем:

Разделив  на время  и площадь отверстия s, получим энергетическую светимость черного тела R*, а также искомый коэффициент пропорциональности

Итак, энергетическая светимость черного тела связана с плотностью энергии в полости соотношением 

Аналогичное соотношение справедливо для спектральных характеристик излучения черного тела:

Таким образом, универсальная функция   в законе Кирхгофа, представляющая собой испускательную способность черного тела, с точностью до множителя с/4 совпадает также со спектральной плотностью равновесного теплового излучения.

До сих пор мы относили спектральные характеристики теплового излучения к единичному интервалу частоты. Можно определить аналогичные характеристики, отнесенные к единичному интервалу длин волн. Так, черное тело испускает в интервале частот   энергию . Эту же энергию можно записать как . Интервалу частот  соответствует интервал длин волн . Учитывая соотношения

находим

где знак минус указывает на то, что с возрастанием частоты  длина волны  убывает. Поэтому в дальнейшем, в соотношениях связывающих длины интервалов, знак минус будем опускать. Таким образом,

или

Аналогичным образом можно записать выражения для спектральной плотности энергии.