5.1. Коммутирующие операторы
В предыдущей главе мы установили, что классические динамические переменные заменяются в квантовой механике на операторы, действующие на волновую функцию. Результатами измерения некой величины А всегда будут собственные значения 
соответствующего оператора
Если система находится в каком-нибудь собственном состоянии 
оператора 
, то измерение наверняка дает собственное значение 
. Если же система находится в каком-то другом состоянии, то измерение величины А с определенной вероятностью дает какое-то из собственных значений, причем эта вероятность зависит от волновой функции состояния и, разумеется, от измеряемой величины А.
Пусть система находится в состоянии с определенным значением величины А. Это значит, что ее волновая функция является собственной функцией оператора 
. Может ли другая величина В также иметь определенное значение? Иначе, может ли состояние быть собственным сразу и для оператора 
, и для 
?
Правило 3
|
Два оператора
|
и 
имеют общий набор собственных состояний тогда и только тогда, когда они коммутируют:
Иначе: если результат последовательного действия двух операторов не зависит от порядка их применения, то соответствующие величины могут одновременно иметь определенные значения.
Рассмотрим пример
то есть для любой функции 
или просто
|
Поскольку операторы |
и 
не коммутируют, то координата частицы и проекция ее импульса на ту же ось точно одновременно не измеримы.Этот вывод и есть истинный источник соотношений неопределенностей Гейзенберга, физический смысл которых разобран выше.
Особое значение имеет свойство коммутации операторов с гамильтонианом, то есть с оператором полной энергии 
. Если какой-то оператор 
коммутирует с , то существует общее собственное состояние, которое стационарно по определению. В стационарном же состоянии система пребывает неограниченно долго. Это означает одновременно и сохранение величины А. Таким образом, утверждение о сохранении некой величины эквивалентно тому, что она может иметь определенное значение вместе с энергией, то есть соответствующий ей оператор коммутирует с гамильтонианом.
