6.1. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био — Савара — Лапласа

Магнитная стрелка — не только прибор, регистрирующий внешнее магнитное поле, она сама является маленьким магнитом, создающим свое собственное поле. Значит, и виток с током должен создавать свое собственное магнитное поле, подобное полю стрелки. Следовательно, любой электрический ток в проводнике создает вокруг него магнитное поле. В частности, такое поле должен создавать движущийся электрический заряд. 

Сейчас мы попробуем угадать, какое магнитное поле порождается зарядом q, движущимся со скоростью v (рис. 6.6). Отправной точкой нам послужит аналогия между электрическими и магнитными явлениями. Вспомним то, что мы уже знаем. Чтобы получить силу, действующую на заряд в электростатическом поле, мы умножаем величину заряда на вектор напряженности поля

 

 

Рис. 6.6. Магнитное поле движущегося заряда 

Чтобы получить силу Лоренца, действующую со стороны магнитного поля на движущийся заряд, мы тоже производим операцию умножения: векторно умножаем  на магнитную индукцию

 

Применим тот же прием для угадывания магнитного поля движущегося заряда.

Электрическое поле покоящегося точечного заряда равно

Заменим q на вектор , электрическое поле — на магнитное, а операцию обычного умножения — на векторное умножение. Получаем

 

Мы не поставили здесь знака равенства, так как у нас не все в порядке с размерностью в левой и правой частях уравнения. Из выражения для силы Лоренца следует, что размерность магнитной индукции равна

Размерность же правой части уравнения равна

Чтобы размерности обеих частей совпали, правую часть надо разделить на квадрат какой-то скорости. Скорость частицы у нас уже использована, и остается единственная возможность — фундаментальная физическая постоянная, скорость света с

(6.2)

Мы ввели здесь новую константу , связанную с  соотношением

Ее называют магнитной постоянной; численное значение ее оказывается равным

Конечно, выражение (6.2) получено лишь по аналогии и не может рассматриваться, как строго выведенное. Однако посмотрим, к каким следствиям оно приводит.

Возьмем элемент проводника , по которому течет ток I (рис. 6.7). Направление вектора I , называемого элементом тока, совпадает с направлением тока в проводнике, то есть с направлением вектора  дрейфовой скорости положительных зарядов.

Рис. 6.7. Магнитное поле, создаваемое элементом тока

Полный заряд носителей тока в этом элементе равен dq = enSdl, где е — заряд носителей, n — их концентрация, a S — поперечное сечение проводника. Подставим этот заряд в выражение (6.2) и получим (рис. 6.8)

Сила тока дается выражением

откуда, учитывая, что

получаем

(6.5)

 

Рис. 6.8. Направление вектора индукции магнитного поля 

Вектор  проведен от элемента тока к точке наблюдения А. Соответственно, модуль вектора  равен

(6.6)

где — угол между направлением данного элемента тока  1820 г. Био (рис. 6.9) и Саваром (рис. 6.10) и сформулированным Лапласом (рис. 6.11)

 

Рис. 6.9. Ж. Био (1774–1862) — французский физик, геодезист и астроном 

 

Рис. 6.10. Ф. Савар  (1791–1841) — французский физик 

 

Рис. 6.11. П. Лаплас  (1749–1827) — французский математик, физик и астроном 

 

Дополнительная информация 

http://dic.academic.ru/dic.nsf/brokgauz_efron/13166/%D0%91%D0%B8%D0%BE — Жан Батист Био; 

http://www.hrono.ru/biograf/bio_l/laplas.php — Пьер Симон Лаплас (1749–1827).

 

Закон Био — Савара — Лапласа определяет магнитную индукцию  в любой точке магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током, текущим по проводнику любой формы (см. рис. 6.7). Для этого надо проинтегрировать соотношение (6.5) вдоль всего проводника. При этом магнитные индукции от различных элементов тока векторно складываются, то есть используется принцип суперпозиции для магнитных полей.