Глава 22. Магнитные взаимодействия. Магнитная индукция.Силы Лоренца и Ампера
Если заряд движется, то наряду с электрическим полем он создает еще одно поле — магнитное, которое действует на другие движущиеся заряды. В результате возникает дополнительное (наряду с кулоновским) взаимодействие движущихся электрических зарядов, которое называется магнитным. В результате магнитного взаимодействия возникает взаимодействие проводников с током.
В 1820 г. датский физик Х. Эрстед обнаружил, что проводник с током действует на магнитную стрелку. После этого стало ясно, что магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов и токов и взаимодействие постоянных магнитов имеют одну и ту же природу. На основании подробных исследований А. Ампер установил, что взаимодействие постоянных магнитов между собой и с токами можно объяснить, если предположить, что внутри магнитов есть электрические токи (в настоящее время известно, что эти токи имеют внутримолекулярную природу).
Для характеристики магнитного поля вводится векторная величина, которая называется индукцией магнитного поля и которая позволяет найти силы, действующие со стороны магнитного поля на движущиеся заряды. Как правило, эту величину обозначают буквой 
. Для нахождения индукции в каждой точке магнитного поля, созданного проводником с током, используется закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти поле 
, созданное бесконечно малым элементом проводника, а принцип суперпозиции требует сложить векторы индукции, созданные всеми элементами проводников. Закон Био-Савара-Лапласа в школьный курс физики, однако, не входит. В задачи ЕГЭ входят только вопросы, связанные с направлением вектора магнитной индукции (но не с величиной). Существует несколько вариантов правила нахождения направления вектора 
. Наиболее удобным является правило буравчика — оно более универсально, чем правило левой руки. Правило буравчика утверждает, что если вкручивать правыйбуравчик1 по току в проводнике, то направление движения ручки в каждой точке пространства покажет направление вектора индукции магнитного поля в этой точке. Относительно величины 
достаточно помнить, что чем дальше от проводника, тем меньше индукция, и что внутри бесконечной катушки (бесконечного соленоида) магнитное поле направлено вдоль оси катушки и однородно.
Магнитное поле можно изобразить графически с помощью линий магнитной индукции. Линии магнитной индукции — воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора 
в этой точке. Линии магнитной индукции проводят так, что их густота в каждой области пространства пропорциональна величине индукции в этой области. В отличие от силовых линий электрического поля линии магнитной индукции всегда являются замкнутыми.
На электрический заряд величиной 
, движущийся со скоростью 
в магнитном поле с индукцией 
, со стороны магнитного поля действует сила, которая называется силой Лоренца
|
(22.1) |
где 
— угол между скоростью и вектором индукции. Направление силы Лоренца определяется следующим образом (см. рисунок).
1. Сила Лоренца перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда 
и индукции магнитного поля 
(на рисунке эта плоскость показана тонким пунктиром).
2. Выбор между двумя перпендикулярными направлениями осуществляется с помощью правила буравчика (или правила левой руки): если вращать правый буравчик так, что его ручка движется от вектора 
к вектору 
, то направление его вкручивания указывает направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд 
(траектория ручки буравчика показана на рисунке изогнутой стрелкой).
3. Для отрицательного заряда направление силы Лоренца противоположно.
Можно также определять направление силы Лоренца по правилу левой руки: левую руку нужно расположить так, чтобы вектор 
входил в ладонь, направление четырех пальцев совпадало с направлением вектора скорости заряда, тогда направление отогнутого под прямым углом к четырем пальцам большого пальца покажет направление силы, действующей на положительный заряд (на отрицательный заряд действует сила противоположного направления).
Поскольку магнитное поле действует на движущиеся заряды, то магнитное поле действует и на проводник, по которому течет электрический ток. Если в магнитном поле с индукцией 
находится проводник длиной 
, по которому течет ток 
, то на этот проводник действует сила
|
(22.2) |
где 
— угол между током и вектором индукции. Направлен вектор силы (22.2) перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектор 
и проводник, причем в таком направлении, что если поставить правый буравчик перпендикулярно указанной плоскости и вращать его так, что ручка вращается от тока к вектору 
, то направление его вкручивания покажет направление силы (см. рисунок; плоскость в которой лежат проводник и вектор индукции обозначена тонким пунктиром, движение ручки буравчика — изогнутой стрелкой). Также для нахождения направления силы можно использовать правило левой руки. Сила (22.2), действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, называется силой Ампера.
Рассмотрим теперь задачи.
Правильный ответ в задаче 22.1.1 — 4 (магнитное поле создается движущимися заряженными телами), в задаче 22.1.2 — 2 (в магнитном веществе есть незатухающие электрические токи). Что же касается того, заряжен магнит или нет, то от этого существование магнитного поля (если магнит покоится) не зависит.
В задаче 22.1.3 следует воспользоваться правилом буравчика. Если вкручивать буравчик по направлению тока в проводнике, то в точке 
его ручка будет двигаться за чертеж. Следовательно, за чертеж направлен в точке 
и вектор индукции магнитного поля (ответ 1).
Если вкручивать буравчик по току в кольце (в любой точке кольца), то ручка буравчика в центре кольца будет двигаться за чертеж. Поэтому правильный ответ в задаче 22.1.4 — 3.
Поскольку угол между скоростью заряда и вектором магнитной индукции равен нулю (задача 22.1.5), то согласно формуле (22.1) сила Лоренца, действующая на этот заряд, равна нулю (ответ 4).
Применим к проводнику с током из задачи 22.1.6 формулу (22.2) для силы Ампера. Имеем 
(ответ 2).
Как следует из формулы (22.2) сила Ампера равна нулю, если угол между током и индукцией равен нулю или 180°. Из приведенных на рисунке в задаче 22.1.7 проводников, таковым является только проводник 1. Поэтому на него магнитное поле не действует (ответ 1).
Применяем к частице из задачи 22.1.8 (см. рисунок) правила нахождения направления силы Лоренца (пункты 1-3 после формулы (22.1)). Во-первых, сила Лоренца направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда 
и индукции магнитного поля 
— т.е. либо за чертеж, либо на нас. Во-вторых, при вращении ручки буравчика, поставленного на чертеж в ту точку, где находится заряд, от вектора 
к вектору 
(в направлении меньшего угла между ними), буравчик будет «выкручиваться» из чертежа. А по-скольку частица заряжена положительно, сила Лоренца направлена «на нас» (ответ 1).
В задаче 22.1.10 следует сначала найти направление вектора магнитной индукции поля провода в той точке, где находится заряд, а затем использовать правила для силы Лоренца (формула (22.1) и текст за ней). Согласно результатам задачи 22.1.3, вектор 
в той точке, где находится заряд, направлен за чертеж (см. рисунок).
Вектор силы Лоренца направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы 
и 
, т.е. либо к проводу, либо от него. Ставим буравчик перпендикулярно этой плоскости и вращаем его так, что ручка движется от вектора 
к вектору 
(см. рисунок; буравчик нужно вращать по часовой стрелке, если смотреть снизу). При таком вращении буравчик будет вкручиваться вверх. А поскольку электрон заряжен отрицательно, то действующая на него сила направлена противоположно, т.е. от провода (ответ 2).
В задаче 22.2.1 используем принцип суперпозиции. Ток в горизонтальном кольце создает поле в его центре с индукцией, направленной вверх, ток в вертикальном кольце — с индукцией, направленной вправо (см. задачу 22.1.4.). Результат сложения этих векторов — индукция суммарного магнитного поля — направлена на «северо-восток» (ответ 1).
Ток в верхнем проводе (задача 22.2.2) создает поле с индукцией, направленной «за чертеж», ток в нижнем — «на нас». Результат их сложения зависит от величин этих векторов. Поскольку поле нижнего провода в точке 
больше поля верхнего (меньше расстояние), то вектор суммы направлен «на нас» (ответ 1).
Сила Лоренца в любой момент времени перпендикулярна скорости частицы. Поэтому угол между бесконечно малым перемещением частицы в любой момент времени и силой Лоренца, действующей на частицу в этот момент времени, — прямой. А поскольку в формулу для работы силы на бесконечно малом участке перемещения входит косинус угла между силой и перемещением, то работа силы Лоренца равна нулю (задача 22.2.3 — ответ 3). Из этих рассуждений и теоремы об изменении кинетической энергии следует, что заряженная частица, движущаяся под действием магнитного поля, изменяет направление, но не величину своей скорости.
Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то она движется по окружности, причем эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции. Радиус окружности 
можно найти из второго закона Ньютона для этой частицы
|
(22.3) |
где 
и 
— масса частицы и ее заряд, 
— ускорение, 
— скорость, которая не изменяется по величине (см. предыдущую задачу), 
— индукция магнитного поля. В формуле (22.3) использовано известное выражение для центростремительного ускорения 
. Из формулы (22.3) получаем для радиуса окружности
|
(22.4) |
Применяя формулу (22.4) к задаче 22.2.4 находим отношение радиусов окружности первой и второй частиц
|
(ответ 2).
Найдем сначала скорости протона и 
-частицы, ускоренных одним и тем же напряжением (задача 22.2.5). По теореме об изменении кинетической энергии имеем
|
где 
и 
— масса частицы и ее заряд, 
— скорость, которую частица приобретает после разгона (здесь предполагается, что начальная скорость частицы равна нулю). Из этой формулы находим отношение скоростей протона 
и 
-частицы 
, ускоренных одним и тем же напряжением
|
Поскольку заряд протона вдвое меньше заряда 
-частицы, а масса вчетверо меньше, то 
. Теперь из формулы (22.4) находим отношение радиусов окружности протона и 
-частицы, ускоренных одним и тем же электрическим напряжением и движущихся в одном и том же магнитном поле
|
(ответ 4).
Период обращения заряженной частицы в магнитном поле (задача 22.2.6) можно найти из следующих соображений. В однородном магнитном поле частица движется по окружности и за период проходит путь, равный длине этой окружности 
, где 
— ее радиус. Используя формулу (22.4) для радиуса траектории, получим для периода обращения 
|
где 
— скорость частицы, 
— ее масса, 
— заряд, 
— индукция магнитного поля. Отсюда заключаем, что период обращения заряженной частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости (ответ 3).
Индукция магнитного поля в задаче 22.2.7 должна быть направлена так, чтобы сила Лоренца, действующая на электрон, была направлена к центру окружности, по которой он движется (см. рисунок). А поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости и индукции, то вектор индукции может быть направлен в этой ситуации только «за чертеж» или «на нас». Воспользуемся далее правилом буравчика (см. текст после формулы (22.1)): если вращать буравчик так, что его ручка будет вращаться от скорости заряда 
к индукции магнитного поля 
, то направление его вкручивания указывает направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд. Для электрона (
< 0) направление силы противоположно. Непосредственной проверкой убеждаемся, что вектор индукции направлен «за чертеж» (ответ 4).
В области среднего провода (задача 22.2.8) ток в верхнем проводе создает магнитное поле с индукцией, направленной «от нас», ток в нижнем — «на нас» (см. задачу 22.1.3). Но ток в нижнем проводе вдвое меньше тока в верхнем, а индукция поля — пропорциональна току. Поэтому индукция суммарного поля верхнего и нижнего проводов в области среднего провода направлена «от нас». Согласно правилам нахождения направления силы Ампера (см. текст после формулы (22.2)) находим, что сила, действующая на средний провод со стороны магнитного поля верхнего и нижнего проводов, направлена вверх (ответ 1). Отметим, что из приведенных рассуждений также следует, что два параллельных провода, по которым текут токи одинакового направления притягиваются, противоположного — отталкиваются.
В задаче 22.2.9 магнитное поле действует на рамку следующим образом. На стороны 
и 
, которые параллельны линиям индукции, поле не действует. На стороны 
и 
действуют силы Ампера, равные по величине 
, где 
— ток в рамке, 
— индукция магнитного поля, 
— длина стороны. Сила, действующая на сторону 
, направлена «на нас», на сторону 
— «от нас». Поскольку суммарная сила, действующая на рамку, равна нулю, как целое рамка перемещаться в пространстве не будет, а будет вращаться вокруг оси, показанной на рисунке пунктиром (ответ 4).
Задача 22.2.10 по формуле (22.2) находим силы Ампера, действующие на стороны треугольника
 |
|
где 
— ток в контуре, 
и 
— длины сторон 
и 
, 
— индукция магнитного поля (последняя из приведенных формул следует из того, что сторона 
параллельна линиям индукции). Из теоремы синусов для треугольника 
|
заключаем, что 
, а из правил для направления силы Ампера — что один из векторов 
или 
направлен «за чертеж», один — «на нас» (в зависимости от направления тока в контуре). Поэтому правильный ответ в задаче — 3.