Глава 25. Волновая и геометрическая оптика
Видимый человеческому глазу свет представляет собой электромагнитные волны с длиной волны, лежащей внутри интервала 390 — 760 нм (или с частотами от 7,7 • 1014 до 4,3 • 1014 Гц). Свету присущи основные свойства волн – интерференция, дифракция, дисперсия. Оптика, в которой рассматриваются волновые свойства света, называется волновой.
Поскольку длина волны света очень мала по сравнению с размерами большинства предметов, использующихся в «обычной» жизни, то волновые свойства света во многих экспериментах не проявляются (или проявляются слабо). В этом случае о свете можно говорить как о совокупности лучей, распространяющихся в однородной среде прямолинейно. Такое рассмотрение света принято называть геометрической оптикой.
В программу единого государственного экзамена по физике входит ряд вопросов по волновой и геометрической оптике. В необходимый минимум знаний по оптике входят следующий фактический материал и принципы оптики. По волновой оптике: понимание того, что такое спектральный состав и разложение белого света в спектр, знание основных принципов сложения (интерференции) световых волн, а также принципов работы дифракционной решетки. В рамках геометрической оптики необходимо знать: законы отражения и преломления света, принципы построения простейших изображений в тонких линзах, формулу тонкой линзы.
Кратко рассмотрим эти вопросы.
Как показывает опыт, свет, воспринимаемый глазом, как белый, состоит из волн с разной частотой. Волны разных частот воспринимаются человеком с нормальным цветовым зрением как свет различного цвета: от красного — света с самой маленькой частотой из диапазона частот, отвечающего видимому свету, до фиолетового — света с самой большой частотой. Свет одной частоты называется монохроматическим (в переводе с греческого — «одного цвета»). Спектром называется совокупность электромагнитных волн, с разными частотами, входящих в состав света. Для разложения белого света в спектр можно использовать процессы, в которых волны разных частот по-разному отклоняются от направления первоначального распространения или по-разному складываются с другими: преломление, дифракцию и интерференцию. При преломлении свет разлагается на спектр потому, что волны с разной частотой имеют различный показатель преломления и по-разному преломляются. Зависимость показателя преломления от частоты называется дисперсией.
Интерференцией называется явление сложения волн. При интерференции в некоторых точках пространства волны усиливают, а в некоторых — гасят друг друга. Две волны усиливают друг друга в таких точках пространства, в которых фазы этих волн отличаются на 
, где 
— любое целое число (или разность хода двух волн до этой точки равна целому числу длин волн). Волны ослабляют друг друга, если разность фаз двух волн равна 
(а разность хода — нечетному числу полуволн). Поскольку условия усиления или ослабления волн зависят от длины волны, то интерференционные максимумы и минимумы для света разных длин волн будут находиться в разных точках пространства. Это значит, что в результате интерференции будет происходить разложение белого света на спектр.
Дифракцией называется огибание светом препятствий. В результате дифракции в каждую точку пространства приходят волны от разных участков волнового фронта, происходит интерференция этих волн и возникает типичная интерференционная картина с чередованием максимумов и минимумов освещенности.
Дифракционной решеткой называется непрозрачная пластинка, на поверхность которой наносятся тонкие параллельные штрихи, которые свет пропускают. Как правило, на один миллиметр поверхности решетки наносится несколько сотен штрихов. Для наблюдения дифракционной картины за решеткой располагают собирающую линзу, а за ней в фокальной плоскости линзы — экран (для наблюдения интерференционной картины на больших расстояниях от решетки можно обойтись и без линзы).
Поскольку параллельные лучи, идущие от соседних щелей имеют разность хода 
, где 
— период решетки (см. рисунок; отрезок равный разности хода двух лучей, выделен жирным), то лучи, идущие под углами 
, которые определяются из уравнения
|
(25.1) |
где 
— целое число, будут усиливать друг друга, и определять интерференционный максимум 
-го порядка. Под углами
|
(25.2) |
к плоскости решетки будут наблюдаться интерференционные минимумы. Согласно формуле (25.1) для света с самой маленькой длиной волны (фиолетового) углы, под которыми наблюдаются интерференционные максимумы, меньше углов, под которыми наблюдаются максимумы соответствующего по-рядка для красного света.
Рассмотрим теперь основные принципы геометрической оптики. Как отмечалось выше, если пренебречь интерференцией и дифракцией света, то свет можно рассматривать как совокупность лучей, распространяющихся в однородной среде прямолинейно. На плоской границе прозрачной и непрозрачной среды световые лучи испытывает отражение. Закон отражения утверждает, что отраженный луч лежит в той же плоскости, что падающий и перпендикуляр, построенный в точке падения луча, и что угол падения луча равен углу отражения
|
(25.3) |
(см. рисунок; перпендикуляр, построенный в точке падения луча, показан пунктиром). Отметим, что в геометрической оптике принято углами падения или отражения называть углы между соответствующими лучами и перпендикуляром, построенным в точке падения.
|
|
Закон (25.3) приводит к тому, что плоские отражающие поверхности (зеркала) создают изображения предметов. Это означает следующее. Пусть имеется зеркало 
и точечный источник 
(см. рисунок). Источник во всех направлениях излучает световые лучи. На основании закона (25.3) можно доказать, что мысленные продолжения отраженных лучей назад, за зеркало будут пересекаться в оной точке (на рисунке мысленные продолжения лучей за зеркало нарисованы пунктиром, точка пересечения продолжений лучей обозначена как 
). Это значит, что отраженные от поверхности зеркала лучи кажутся наблюдателю вышедшими из точки 
, в которой ему будет казаться расположенным источник. Поэтому точка 
называется изображением источника. Можно также доказать, что изображение источника в плоском зеркале будет расположено на перпендикуляре, опущенном из источника на зеркало или его продолжение, на таком же расстоянии от поверхности зеркала, что и источник 
(см. рисунок).|
|
При переходе из одной прозрачной среды в другую лучи становятся ломаными или, как говорят, испытывают преломление на границе раздела прозрачных сред. Закон преломления гласит, что преломленный луч лежит в той же плоскости, что падающий и перпендикуляр, построенный в точке падения луча, и что углы падения 
и преломления 
лучей связаны соотношением
|
(25.4) |
где 
и 
— параметры, характеризующие каждую прозрачную среду, и которые называются показателем преломления этой среды. Из природных сред самым большим показателем преломления обладает алмаз (
= 2,2), у воздуха показатель преломления близок к единице, у вакуума — строго равен единице.
Из закона преломления (25.4) можно сделать следующие заключения о прохождении света через границу двух прозрачных сред.
1. При переходе луча из менее оптически плотной в более оптически плотную среду (
), луч будет распространяться ближе к перпендикуляру, проведенному в точку падения. При переходе из более оптически плотной в менее оптически плотную среду (
), луч будет распространяться ближе к границе раздела между средами.
2. При перпендикулярном падении на границу луч не преломляется независимо от показателей преломления сред.
3. При падении луча на границу двух прозрачных сред из более оптически плотной среды возможна ситуация, когда уравнение (25.4) относительно угла преломления 
не будет иметь решений. Действительно, при углах падения
|
(25.5) |
из (25.4) получаем, что 
(!). Кажущееся противоречие разрешается тем, что, как следует из закона преломления (25.4), при угле падения 
, луч во второй среде пойдет вдоль границы раздела сред, а значит, при увеличении угла падения вообще не сможет пройти во вторую среду. Этот эффект называется полным внутренним отражением.
4. Закон преломления (25.4) симметричен относительно двух сред — той, из которой падает луч и той, в которую луч проходит. Это значит, что если луч, падая на границу раздела сред под углом 
, будет распространяться во второй среде под углом 
, то при падении из второй среды под углом 
в первой он будет распространяться под углом 
. Это свойство закона преломления часто называют его обратимостью.
Показатель преломления света 
в некоторой среде связан со скоростью света в данной среде 
следующим соотношением:
|
(25.6) |
А поскольку скорость света в среде зависит от частоты света, то и показатель преломления света в данной среде зависит от частоты этого света. Наибольшим показателем преломления характеризуется свет с самой маленькой длиной волны (фиолетовый), наименьшим — с самой большой длиной волны (красный).
Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими или параболическими поверхностями, называется линзой. Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называется главной оптической осью линзы. В школьном курсе физики рассматривают только тонкие линзы. В этом случае можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которая называется центром линзы. Различают собирающие и рассеивающие линзы (иногда говорят положительные и отрицательные). На рисунке приведены примеры собирающей и рассевающей линз. В оптических схемах линзы принято обозначать отрезками прямых со стрелками (см. рисунок; схематические обозначения линз показаны справа от каждой линзы).
На основе закона преломления (25.4) можно доказать, что для тонкой линзы и лучей, проходящих не слишком далеко от ее центра, справедливы следующие законы.
1. Любой луч, проходящий через центр как собирающей, так и рассеивающей линзы не преломляется.
2. Пучок параллельных световых лучей, падающих на собирающую линзу, пересекаются в одной точке, которая принадлежит некоторой плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и называемой фокальной плоскостью линзы. Точка пересечения фокальной плоскости и главной оптической оси линзы называется ее фокусом. Расстояние от фокуса линзы до ее центра называется фокусным расстоянием линзы. На рисунке в качестве примера построен ход пучка параллельных лучей света в собирающей линзе.
3. Пучок параллельных световых лучей после прохождения рассеивающей линзы не пересекается, поскольку эти лучи рассеиваются линзой. Однако, если мысленно взять рассеянные линзой лучи и продолжить их назад за линзу, то эти пересечения пересекутся в одной точке, лежащей в фиксированной плоскости, называемой фокальной плоскостью рассеивающей линзы. На рисунке в качестве примера построен ход пучка параллельных лучей света в рассеивающей линзе.
Благодаря обратимости закона преломления света любая линза (и собирающая и рассеивающая) имеют и второй фокус, расположенный с другой стороны от линзы на таком же расстоянии от нее, как и первый.
Линзы создают изображения источников. Это значит, что лучи, вышедшие из одной точки, находящейся перед линзой (точечный источник) после прохождения линзы либо пересекутся в какой-то точке за линзой, либо рассеются линзой так, что мысленные продолжения лучей назад, за линзу пересекутся в одной точке, и потому будут казаться наблюдателю вышедшими из этой точки. Эти точки называются изображениями источника. Если пересекаются сами лучи, изображение называется действительным, если мысленные продолжения — мнимым. Для построения изображения точечного источника нужно взять любые два луча, вышедших из источника, и найти точку их пересечения (или точку пересечения их продолжений). Следует запомнить, что изображение источников в собирающей линзе может быть действительным (когда расстояние от источника до линзы больше фокусного расстояния линзы) и мнимым (когда расстояние от источника до линзы меньше фокусного расстояния линзы). Рассеивающая линза всегда создает мнимое изображение источников.
Для нахождения расстояний от линзы до изображения точечного источника используется формула тонкой линзы. Эта формула гласит, что если на расстоянии 
от плоскости линзы с фокусным расстоянием 
находится точечный источник, то расстояние от изображения этого источника до плоскости линзы 
можно найти по формуле
|
(25.7) |
где смысл знака в правой части (перед 
) таков: знак «+» берется для собирающей линзы, знак «‒» — для рассеивающей. Знак «+» в левой части берется для действительного изображения (линза собирающая, расстояние от источника до линзы больше фокусного расстояния линзы), знак «‒» — для мнимого (линза собирающая, расстояние от источника до линзы меньше фокусного расстояния линзы, или линза рассеивающая). Отметим, что иногда формулу линзы записывают со знаками плюс и в правой и в левой части, но тогда под
и 
понимают алгебраические величины в зависимости от того, линза собирающая или рассеивающая, изображение действительное или мнимое. Формула (25.7) с помощью простейших алгебраических преобразований (без геометрии, что, как правило, труднее) позволяет находить расстояние от линзы до изображения.
А теперь рассмотрим задачи.
Наименьшей частотой из волн видимого света обладает красный (задача 25.1.1 — ответ 1).
По определению отклонение света от прямолинейного направления распространения при прохождении около препятствий называется дифракцией (задача 25.1.2 — ответ 2). Интерференцией называется сложение волн (задача 25.1.3 — ответ 1).
Радужная окраска тонких пленок, толщина которых сравнима с длиной волны света (задача 25.1.4), возникает благодаря интерференции световых лучей (ответ 1). Вот как это происходит. При падении луча на пленку возникают несколько эффектов. На обеих поверхностях пленки луч частично проходит, частично отражается (см. рисунок). В результате в отраженном свете друг на друга накладываются лучи, отраженные от внешней и внутренней поверхностей (лучи 3 и 4 на рисунке), причем эти лучи обладают определенной разностью хода. Эта разность хода зависит от угла падения лучей на поверхность, длины волны света и толщины пленки. Поэтому при определенных углах падения и длине волны света возникает конструктивная интерференция, когда отраженные волны усиливают друг друга, при определенных — деструктивная, когда волны друг друга ослабляют. 
Если пленка освещается рассеянным белым светом (разные углы падения, разные длины волн), то максимумы интенсивности света разных длин волн будут находиться под разными углами, и при наблюдении отраженного света будет наблюдаться «переливающаяся» радужная окраска.
При преломлении белый свет разлагается в спектр благодаря тому, что показатель преломления зависит от частоты света, и лучи разных длин волн по-разному преломляются (задача 25.1.5 — ответ 1). Как показывает опыт, показатель преломления тем больше, чем больше частота света, поэтому правильная последовательность цветов в задаче 25.1.6 такова: 1 — красный, 2 — зеленый, 3 — фиолетовый (ответ 4).
Волны от двух источников с одинаковыми частотами и начальными фазами в некоторой точке усиливают друг друга, если разность хода до этой точки волн от первого и второго источника содержит четное число полуволн (или, что то же самое, кратна длине волны), и ослабляют, если разность хода содержит нечетное число полуволн. Длину волны света в задаче 25.1.7 находим по формуле (24.6) 
мкм. Поэтому эта разность хода содержит полторы дины волны света, следовательно, волны приходят в рассматриваемую точку в противофазе, и в ней наблюдается интерференционный минимум (ответ 2).
Поскольку расстояния от источников до точки 
в задаче 25.1.8 одинаковы (см. рисунок), фаза волн, пришедших от источников 1 и 2 в эту точку в любой момент времени одинаковы, следовательно, в точке 
волны усиливают друг друга, и в ней наблюдается интерференционный максимум (ответ 1).
Поскольку все точки фронта плоской волны колеблются в одинаковой фазе, то вторичные волны от отверстий в задаче 25.1.9 (см. рисунок) имеют одинаковые фазы. Поэтому интерференционные максимумы наблюдаются в тех точках экрана, разность хода вторичных волн до которых кратна длине волны света. Поскольку по условию эта разность хода равна длине волны света, в точке 
наблюдается интерференционный максимум (ответ 1).
Согласно формуле (25.2) первый минимум при падении плоской волны перпендикулярно дифракционной решетке наблюдается под углом 
(задача 25.1.10). Поскольку синус угла 
много меньше единицы, то 
, причем это равенство справедливо для углов, выраженных в радианах. Отсюда 
рад (ответ 2).
По закону отражения угол падения луча равен углу отражения, поэтому имеем в задаче 25.2.1 — 
(ответ 3).
Изображение точечного источника в плоском зеркале (задача 25.2.2) расположено на перпендикуляре, опущенном из источника на зеркало или его продолжение, на таком же расстоянии от поверхности зеркала, что и источник (см. введение к настоящей главе). Поэтому изображением источника является точка 2 (ответ 2).
Согласно закону преломления (25.4) лучи, падающие перпендикулярно границе раздела сред не преломляются при любых показателя преломления сред. Поэтому правильный ответ в задаче 25.2.3 — 4.
Из рисунка, данного в условии задачи 25.2.4, и теоремы Пифагора находим синусы угла падения 
и угла преломления 
: 
, 
. В результате из закона преломления (25.4) получаем показатель преломления среды, в которую проходит луч 
(ответ 3).
Из закона преломления (25.4) следует, что луч «прижимается» к границе раздела между средами света, если он проходит из более оптически плотной среды в менее оптически плотную (
). Поэтому правильный ответ в задаче 25.2.5 — 2.
Согласно формуле (25.6) скорость распространения света в среде 
и ее показатель преломления 
связаны друг с другом. Поэтому в задаче 25.2.6 получаем для показателя преломления = 2 (ответ 2).
Формула линзы (25.7) для случая, рассматриваемого в задаче 25.2.9, имеет вид
|
где 
— расстояние от источника до линзы, 
— расстояние от изображения до линзы. Отсюда находим 
(ответ 1).
Для построения изображения источника можно использовать два луча, вышедших из источника: луч, проходящий через центр линзы, и луч, параллельный главной оптической оси. Точка пересечения этих лучей и есть изображение источника. Построение для задачи 25.2.10 выполнено на рисунке, изображение источника — точка 
. Изображение перевернуто, так как точки источника 
, лежащие ближе к главной оптической оси, изображаются в точки изображения 
, которые лежат ближе к главной оптической оси. Чтобы найти размер изображения заметим, что отношение размера изображения к размеру предмета равно отношению расстояния от изображения до линзы 
к расстоянию от источника до линзы 
. Используя формулу линзы для рассматриваемого случая, находим
|
Так как по условию 
, то 
— изображение уменьшенное (ответ 4).