Глава 5. Закон сохранения импульса

Импульсом тела называется векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

(5.1)

Импульсом системы тел называют векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему. С импульсом связаны два закона, которые можно использовать для нахождения скоростей тел.

Через изменение импульса тела можно записать второй закон Ньютона. Действительно, поскольку ускорение тела равно

где – изменение скорости тела за бесконечно малый интервал времени , то из второго закона Ньютона получаем для изменения импульса этого тела

(5.2)

где – силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Формулу (5.2) принято называть вторым законом Ньютона в импульсной форме.

Для системы тел, которые взаимодействуют только друг с другом, но не с другими телами (такая система тел называется замкнутой), выполняется закон сохранения импульса. Этот закон утверждает, что вектор импульса такой системы тел не изменяется

с течением времени, хотя импульсы отдельных тел системы могут изменяться. Рассмотрим применение этих определений и законов к решению задач.

При решении задачи 5.1.1 следует помнить, что импульс – векторная величина, и потому импульс тела при его вращении по окружности с постоянной по величине скоростью изменяется. В частности, величина изменения импульса тела за половину периода движения по окружности равна (см. рисунок, вычитание векторов выполнено на правой части рисунка). Поэтому правильный ответ в задаче – 2.

Импульс данной в задаче 5.1.2 системы тел находится с помощью векторного сложения импульсов отдельных тел, входящих в систему (см. рисунок). Используя теорему Пифагора, находим величину импульса системы (ответ 4).

В задаче 5.1.3 удобно использовать второй закон Ньютона в импульсной форме (5.2). Поскольку действующая на тело сила постоянна, закон (5.2) можно применить не только к бесконечно малому, но и к конечному интервалу времени. Из закона (5.2) имеем

где и – начальный и конечный импульсы тела, – действующая на тело сила, – время действия силы. Поскольку по условию векторы начального импульса и силы направлены противоположно, находим, проецируя второй закон Ньютона на направление начального импульса кг • м/с (ответ 2).

С помощью второго закона Ньютона в импульсной форме удобно решать и следующую задачу 5.1.4. Применяя этот закон для молотка (при этом надо учесть, что после удара молоток остановился, и, следовательно, ), находим среднюю силу, действующую на него со стороны гвоздя, которая равна силе, действующей со стороны молотка на гвоздь

(ответ 2).

Задача 5.1.5 является очень простой. Однако ее (может быть именно из-за простоты) плохо делают школьники. Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, то у системы тележек в любой момент времени он будет таким же, как и в начальный момент, причем независимо от характера столкновения (сцепились они, или нет, разлетелись и т.д.). А поскольку в начальный момент импульс системы равен 1 кг • м/с, то таким же он будет и в дальнейшем (ответ 1).

Применяя закон сохранения импульса к столкновению тележек из задачи 5.1.6, получим , где – суммарная маска тележек, – их скорость после столкновения. Отсюда находим, что (ответ 3).

Закон сохранения импульса для системы «брусок-пуля» из задачи 5.1.7 дает

где – скорость бруска с застрявшей в нем пулей. Отсюда находим, что (ответ 1).

В задаче 5.1.8 рассматривается столкновение тел, которые после этого слипаются. Если после столкновения тела останавливаются, то импульс этой системы тел после столкновения равен нулю. Следовательно, должен равняться нулю и импульс системы тел до столкновения. Поэтому до столкновения должно выполняться равенство , где , и , – массы и скорости тел до столкновения. Отсюда находим м/с (ответ 3).

Закон сохранения импульса для системы тел пуля-брусок из задачи 5.1.9 имеет вид

где – скорость бруска после того, как его пробила пуля. Поэтому (ответ 1).

Из закона сохранения импульса в задаче 5.1.10

где и – импульсы первого тела до и после столкновения, – импульс второго тела после столкновения, находим

что означает, что вектор скорости второго тела после столкновения направлен так, как это показано на рисунке 3 в условии задачи.

Очевидно, скорость тележки после «аккуратного» сбрасывания тела (т.е. с нулевой скоростью относительно тележки) не изменяется (задача 5.2.1). Действительно, из закона сохранения импульса следует, что скорость тележки изменится, если изменится и скорость тела (так, чтобы не изменился суммарный импульс системы «тележка-тело»). В рассматриваемом же случае скорость тела не изменяется, поэтому не изменяется и скорость тележки.

Закон сохранения импульса для человека и тележки, движущихся в одном направлении (задача 5.2.2), имеет вид

откуда получаем данный в условии задачи ответ 4. Отметим, что остальные данные в условии ответы можно было «отбросить» сразу: в двух из них при одинаковых массах человека и тележки получается нуль в знаменателе (что невозможно), еще один ответ дает нуль для скорости при одинаковых скоростях человека и тележки (а ответ в этом случае, очевидно, должен дать именно эту скорость).

Закон сохранения импульса для системы тел «тележка с песком – шар» из задачи 5.2.3 имеет вид

где , и , – массы и скорости тележки и шара до столкновения, – скорость тележки с шаром после столкновения. Проецируя закон сохранения импульса на ось (см. рисунок), находим

где – проекция вектора на ось . Отсюда следует, что вектор скорости тележки с шаром направлен против оси и равен по величине 0,1 м/с (ответ 2).

Рассмотрим закон сохранения импульса для гранаты (задача 5.2.4) , где и – массы двух осколков, и – их скорости после взрыва. Проецируя этот закон на направление движения гранаты, получаем

(1)

где – проекция скорости второго осколка на это направле-ние. Из формулы (1) следует, что второй осколок движется после взрыва противоположно направлению движения гранаты до взрыва, если , поскольку в этом случае проекция вектора на направление движения гранаты до взрыва отрицательна (ответ 2).

Задачи 5.2.5 и 5.2.6 поставлены очень похоже друг на друга, но в первой из них дана скорость человека относительно земли, во второй – относительно тележки. А какую скорость следует использовать в законе сохранения импульса? Вообще-то можно брать скорости в любой системе отсчета, но важно, чтобы все скорости были заданы в одной и той же системе. А поскольку известна начальная скорость тележки относительно земли, удобно все скорости задавать именно в этой системе. В задаче 5.2.5 имеем в системе отсчета, связанной с землей в проекциях на ось, направленную вдоль скорости тележки

где – скорость тележки после столкновения. Отсюда находим

(правильный ответ – 1).

Закон сохранения импульса в задаче 5.2.6

в котором все скорости заданы относительно земли ( – скорость человека относительно земли), необходимо объединить с законом сложения скоростей

где – скорость человека относительно земли, – скорость тележки. Подставляя закон сложения скоростей в закон сохранения импульса, имеем

Проецируя этот векторный закон на направление движения тележки, получим

(правильный ответ – 3). Отметим, что отличие ответов этой и предыдущей задач сводится к отличию их знаменателей.

В задаче 5.2.7 надо рассмотреть закон сохранения импульса в случае, когда скорости тел после столкновения направлены не вдоль одной прямой. Из закона сохранения импульса для снаряда

имеем

Откуда

(правильный ответ – 3).

Поскольку проекция импульса системы тел в задаче 5.2.8 на ось (см. рисунок) равна нулю, после слипания тела будут двигаться вдоль оси . Поэтому из проекции закона сохранения импульса системы на ось

где – скорость тел после столкновения, получаем (ответ 3).

Поскольку импульс начального ядра равен нулю (задача 5.2.9), то равна нулю и векторная сумма импульсов ядер-осколков. Поэтому , где , и – импульсы первого, второго и третьего осколков. По условию векторы и направлены перпендикулярно друг другу. Поэтому величину вектора можно найти по теореме Пифагора

Отсюда находим скорость третьего осколка (ответ 1).

В задаче 5.2.10 сначала рассмотрим движение тела по поверхности горки, когда тело В закреплено и может двигаться только вместе с горкой. Согласно закону сохранения импульса после соскальзывания тела влево горка с телом будет двигаться вправо с некоторой скоростью (см. рисунок), причем чем больше масса горки с телом по сравнению с массой тела , тем меньшую скорость приобретет горка. Рассмотрим теперь соскальзывание тела , но сделаем это в системе отсчета, связанной с горкой. В ней горка в начальный момент стоит, а затем после соскальзывания тела вправо будет двигаться влево. Если бы горка приобрела такую же скорость, как и в первом случае, то в системе отсчета, связанной с землей, она остановилась. Можно, однако, понять, что во втором случае горка приобретет большую скорость. Действительно, в первом случае тело при соскальзывании толкало в противоположную сторону горку вместе с телом , а тело – только одну горку (т.е. более легкое тело). Поэтому после последовательного соскальзывания двух тел (сначала , затем ) горка будет двигаться влево (ответ 1).