Глава 9. Гидростатика

Для решения задач на гидростатику необходимо знать определения плотности и давления, уметь находить давление в покоящейся жидкости, возникающее благодаря притяжению этой жидкости к Земле (гидростатическое давление), а также находить силы, с которыми жидкости действуют на погруженные в них тела (силу Архимеда). Кратко сформулируем эти определения и законы.

Плотностью тела называется отношение

(9.1)

где — масса тела, — его объем. Очевидно, отношение (9.1) имеет смысл массы единицы объема тела. Если тело однородно, то плотность (9.1) является характеристикой не тела, а вещества, из которого оно состоит. Действительно, для тел, состоящих из одного и того же вещества масса пропорциональна объему, и отношение (9.1) одинаково у всех этих тел.

Для характеристики воздействия жидкости или газа на стенки сосудов вводят понятие давления жидкости или газа, которое определяется как отношение силы , действующей на элемент стенки сосуда со стороны жидкости или газа, к величине площади этого элемента :

(9.2)

Важным свойством давления является то обстоятельство, что хотя оно и определяется через элемент площади стенки сосуда, от этого элемента давление (9.2) не зависит, а является характеристикой только жидкости или газа. Действительно, сила, действующая со стороны жидкости на элемент площади дна сосуда или стенки сосуда, пропорциональна площади этого элемента, и потому отношение (9.2) от не зависит. Отметим, что хотя давление и определяется через векторную величину — силу, давление — величина не векторная. Как показывает опыт, отношение (9.2) не зависит не только от величины площадки , но и от ее ориентации в пространстве. Другими словами, жидкость, будучи сжатой, оказывает воздействие во всех направлениях. Последнее утверждение и говорит о невекторном характере давления и называется законом Паскаля.

В жидкости, находящейся в каком-либо сосуде в поле силы тяжести, благодаря ее притяжению к Земле, возникает давление. Это давление называется гидростатическим. Можно доказать, что гидростатическое давление жидкости не зависит от формы сосуда, в котором она находится, а зависит только от глубины. Гидростатическое давление жидкости плотности на глубине равно

(9.3)

где — ускорение свободного падения. Если на поверхность жидкости действует атмосферный воздух, то давление жидкости на глубине будет складываться из атмосферного давления и гидростатического давления (9.3).

Благодаря зависимости гидростатического давления жидкости от глубины возникает своеобразный эффект выталкивания тел, погруженных в жидкость, из этой жидкости. Действительно, в жидкости, находящейся в поле силы тяжести, возникает гидростатическое давление, и жидкость оказывает воздействие на поверхность тела, опущенного в жидкость. При этом силы, действующие на боковые поверхности тела, компенсируют друг друга. Однако из-за зависимости гидростатического давления от глубины, сила, действующая на более глубокую (нижнюю) поверхность тела, больше силы, действующей на верхнюю поверхность (см. рисунок), и на тело действует результирующая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила называется выталкивающей силой или силой Архимеда. Можно доказать, что на тело, целиком погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила

(9.4)

где — плотность жидкости, — объем тела. Если тело погружено в жидкость не целиком, то выталкивающая сила также определяется формулой (9.4), но вместо объема тела в нее входит объем погруженной в жидкость части тела.

С помощью формулы (9.4) можно установить условие плавания тел. Тело будет плавать, если сила Архимеда будет больше действующей на тело силы тяжести

где — плотность тела. Отсюда получаем, что тело плавает, если плотность жидкости больше плотности тела

(9.5)

Рассмотрим теперь задачи.

В задаче 9.1.1 с использованием формулы (9.3) для гидростатического давления находим

(ответ — 4).

Поскольку высота уровней жидкости в сосудах (в задаче 9.1.2) и их плотности одинаковы, то давление жидкости около дна обоих сосудов одинаково (ответ 3).

В задаче 9.1.3 давление жидкости около дна сосудов одинаково (одинаковы плотности и уровень жидкостей), поэтому сила, действующая на дно, больше для того сосуда, площадь дна которого больше, а меньше для того, площадь дна которого меньше. Поэтому (правильный ответ — 2).

Чтобы найти силу, действующую на небольшую поверхность внутри жидкости, нужно найти гидростатическое давление жидкости на той глубине, на которой находится рассматриваемая поверхность, и умножить это давление на площадь поверхности. Поэтому для крана из задачи 9.1.4 получаем

(ответ 4).

Бытовой насос (задача 9.1.5) поднимает воду благодаря создаваемому им избыточному давлению. Ясно, что вода в трубках насоса будет подниматься до тех пор, пока ее гидростатическое давление не компенсирует избыточное давление насоса. Поэтому насос сможет поднять воду на следующую высоту

где — избыточное давление, созданное насосом, — плотность воды, — ускорение свободного падения (правильный ответ — 3).

Поскольку бруски в задаче 9.1.6 изготовлены из одинакового материала, у них одинаковые плотности, и, следовательно, отношение их масс равно отношению их объемов. А поскольку объем второго бруска вчетверо больше объема первого, то и его масса вчетверо больше массы первого, т.е. равна 40 г (ответ 3).

Пусть размер меньшего ребра бруска в задаче 9.1.7 — . Тогда размеры остальных сторон — и . Следовательно, площади граней бруска равны , и . Поэтому давления бруска на стол, когда он лежит на разных гранях, равны (начиная с наименьшего):

т.е. относятся друг к другу так же, как и длины сторон 1:2:3 (ответ 1).

В сообщающихся сосудах жидкость занимает такое положение, что ее давление в обоих коленах одинаково. Поэтому в задаче 9.1.8 имеем с использованием формулы для гидростатического давления

Отсюда находим

(правильный ответ — 4).

Поскольку плотность натрия 950 кг/м³ (задача 9.1.9) меньше плотности воды 1000 кг/м³, то натрий плавает на поверхности воды (ответ 1).

На льдину (задача 9.1.10) действуют сила тяжести и сила Архимеда. Условие равновесия льдины дает

(1)

где — плотность воды, — объем погруженной в воду части льдины, — ее масса. Поскольку, где — плотность льда, — объем льдины, из формулы (1) получаем

Отсюда находим, что отношение объема погруженной в воду части льдина к ее объему равно отношению плотностей льда и воды

(ответ 2). Таким образом, девять десятых частей плавающей льдины находятся под водой.

Поскольку тело в задаче 9.2.1 плавает в жидкости, выталкивающая сила Архимеда равна действующей на тело силе тяжести — 10 Н (ответ 1).

Весом тела называется сила, с которой тело действует на опору (сила реакции опоры). На тело, полностью погруженное в воду, действуют сила тяжести , выталкивающая сила Архимеда и сила реакции. Для силы реакции (веса тела) из условия равновесия тела имеем

где и — плотности жидкости и тела, — объем тела (обратим внимание читателя на то, что согласно этой формуле вес тела в жидкости уменьшается). Отсюда находим

(задача 9.2.2 — ответ 3).

Из условия равновесия коробки, плавающей на поверхности воды (задача 9.2.3), следует, что сила тяжести равна силе Архимеда , где — масса тела, — плотность воды, — объем погруженной части коробки, который можно выразить через площадь дна коробки и глубину его погружения в воду см³. Отсюда получаем для массы коробки = 500 г (ответ 2).

При решении задачи 9.2.4 школьники часто допускают ошибку, говоря, что выталкивающая сила равна нулю, так как шар, наполненный воздухом, находясь в воздухе, «всплывать» не будет. Последнее утверждение, конечно, правильно, а первое — нет. Шар, наполненный воздухом, не «всплывает» в воздухе не потому, что выталкивающая сила не действует, а потому, что она меньше силы тяжести. Выталкивающая сила действует на тело со стороны жидкости или газа и никак не может зависеть от того, что внутри этого тела, воздух или, напрмер, гелий, с которым шар всплывал бы. Для выталкивающей силы имеем согласно закону Архимеда Н (ответ 1).

На поплавок из задачи 9.2.5 действуют силы: тяжести , Архимеда , натяжения лески (см. рисунок). Используя стандартное выражение для силы Архимеда (9.4), получаем из условия равновесия поплавка

где — плотность воды, и — масса и объем поплавка. Выражая массу поплавка через его плотность и объем и учитывая, что по условию плотность воды вдвое больше плотности поплавка , получим 10 Н (ответ 1).

В задаче 9.2.6 умышленно дано много лишних данных. Поскольку и в воде, и в керосине мяч плавает, то архимедова сила и в том, и в другом случае уравновешивает силу тяжести мяча (ответ 2).

Несмотря на то, что тело в задаче 9.2.7 не касается дна и стенок сосуда, суммарная сила, действующая на левую чашку весов, увеличится. Действительно, при опускании тела в воду возникает сила Архимеда, действующая со стороны воды на тело, но при этом и тело действует на воду, причем эта сила направлена вертикально вниз и равна силе Архимеда. Чтобы весы остались в равновесии на правую чашку весов надо положить такой груз, сила тяжести которого равна этой силе, т.е. груз с массой , где — плотность воды, — объем тела. А поскольку плотность тела по условию вчетверо больше плотности воды, то (ответ 1).

Для нахождения давления жидкости, в которой плавают те или иные тела, существует следующий прием. Если мысленно удалить тело из жидкости и заполнить освободившееся место той же жидкостью, то силы, действующие со стороны жидкости на стенки сосуда не изменяться. Действительно, на плавающее тело со стороны жидкости и со стороны тела на жидкость действует сила , где — плотность жидкости, — объем погруженной в жидкость части тела. Таким образом, тело действует на жидкость с той же силой, с которой на нее действовала бы жидкость, занимающая объем погруженной в воду части тела. Поэтому если вытащить тело из жидкости и заполнить освободившееся место жидкостью, то не меняется уровень жидкости, не меняются также все силы, действующие внутри жидкости. Поэтому если в жидкости плавает тело, то независимо от параметров этого тела (массы, плотности, объема), давление жидкости на глубине равно , причем отсчитывается от поверхности жидкости с плавающим в ней телом. Поэтому в задаче 9.2.8 надо найти, на сколько поднимется уровень воды в сосуде, а затем и связанное с этим повышением уровня избыточное гидростатическое давление около дна. Очевидно, что в цилиндрическом сосуде площадью сечения уровень воды поднимется на такую величину , что , где — объем погруженной в воду части тела. Находя величину из условия равновесия тела и закона Архимеда, получим . Поэтому гидростатическое давление воды около дна вырастет на величину (ответ 1).

Из условия равновесия плавающего тела следует, что его масса равна массе воды в объеме погруженной части тела. . Поэтому суммарная масса воды и деревянного тела в одном ведре и суммарная масса воды и пенопластового тела в другом в задаче 9.2.9 равна массе воды в полном ведре, т.е. одинакова в обоих ведрах. Поэтому правильный ответ в этой задаче — 3.

Когда внутрь плиты из задачи 9.2.10 вставляют более плотное тело, возникает дополнительное гравитационное взаимодействие между жидкостью и плитой. Если до этого на каждый элемент жидкости действовала гравитационная сила, направленная вертикально вниз, то после этого возникает дополнительная сила, направленная к центру тела (см. рисунок, на котором нарисованы силы, действующие на выделенный элемент жидкости). К каким последствиям для расположения жидкости на плите это приведет? Легко сообразить, что уровень жидкости в области над телом повысится. Действительно, поверхность жидкости всегда расположена перпендикулярно приложенным силам (иначе жидкость будет течь), поэтому она расположится так, как показано на рисунке. Другими словами, более массивное тело, вставленное внутрь плиты, благодаря дополнительному гравитационному взаимодействию «натянет» жидкость со всех сторон, и ее уровень над телом поднимется. Поэтому правильный ответ в задаче — 3.