Многочлен Тейлора

Пусть функция имеет в данной точке несколько последовательных производных до порядка n включительно.

Рассмотрим задачу о нахождении многочлена степени n, который имеет те же значения производных

P(a) = f(a), P′(a) = f ′(a), ..., P⁽ⁿ⁾(a) = f ⁽ⁿ⁾(a).

Этот многочлен удобно искать в виде следующего разложения

P(x) = c₀ + c₁(x − a) + c₂(x − a)² + ... + c_k(x − a)^k + ... + c_n(x − a)ⁿ.

Последовательно дифференцируя, находим

P′(x) = c₁ + 2c₂(x − a) + ... + kc_k(x − a)^k−1 + ... + nc_n(x − a)ⁿ⁻¹.

P″(x) = 2c₂ + ... + k(k − 1)c_k(x − a)^k−2 + ... + n(n − 1)c_n(x − a)ⁿ⁻².

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

P^(k)(x) = k(k − 1)(k − 2) ... 3·2c_k + ... + n(n − 1)(n − 2) ... (n − k + 1)c_n(x − a)^n−k.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

P⁽ⁿ⁾(x) = n(n − 1)(n − 2) ... 3·2c_n.