Монотонность

Обходной маневр

Пусть производная f ′(x) ≥ 0 на [0; +∞) и f ′(x) > 0 в (0; +∞). Тогда функция f(x) строго возрастает на [0; +∞).

Пусть x₁ < x₂. Либо x₁ > 0, либо x₁ = 0. Если x₁ > 0, то применяя теорему о строгом возрастании для промежутка (0; +∞) получим, что f(x₁) < f(x₂).

Если x₁ = 0, выберем x так, чтобы x₁ = 0 < x < x₂.

В силу возрастания функции на [0; +∞) выполнено неравенство f(x₁) ≤ f(x), а в силу строгого возрастания в (0; +∞) справедливо f(x) < f(x₂). Поэтому f(x₁) < f(x₂).

Пример

Доказать, что при всех x > 0 справедливо неравенство

e^x > 1 + x

Пусть f(x) = e^x − 1 − x. Производная f ′(x) = e^x − 1 ≥ 0 при x ≥ 0 и положительна при x > 0. Следовательно, f(x) строго возрастает на [0; +∞). Поэтому при x > 0

e^x − 1 − x = f(x) > f(0) = 0 ⇒ e^x > 1 + x