Длина кривой
Пусть на отрезке [α; β] заданы три функции f1(t), f2(t), f3(t). Множество точек
L = {(x; y; z): x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), α ≤ t ≤ β}
называется параметрической кривой. Точка A(f1(α); f2(α); f3(α)) на кривой L называется началом кривой, а точка
B(f1(β); f2(β); f3(β)) называется концом кривой. Часто начало и конец называются одним словом: концы кривой.
Если функции f1(t), f2(t), f3(t) непрерывны, кривая L называется непрерывной кривой (кривая класса C или C0).
Если функции f1(t), f2(t), f3(t) непрерывно дифференцируемы, то кривая L называется гладкой кривой (кривая класса C1).
Замечание
Часто гладкой называют кривую при дополнительном условии
[f1′(t)]2 + [f2′(t)]2 + [f3′(t)]2 ≠ 0. (1)
Однако, во многих утверждениях это условие оказывается не нужным. Если для гладкой кривой это последнее условие выполнено, будем называть такую кривую регулярной.
Условие (1) может быть выполнено в одних точках и не выполнено в других точках. Точки, в которых условие (1) выполнено, назовём регулярными, а точки, в которых это условие не выполнено, назовём особыми точками кривой.
