Длина кривой

1) Пусть спрямляема кривая AC и пусть T₁, T₂ — произвольные разбиения AB и BC. Тогда T = T₁ ∪ T₂ является разбиением AC, причём

l(T) = l(T₁) + l(T₂),

тогда для любого разбиения T₁ кривой AB

l(T₁) = l(T) − l(T₂) ≤ |AC| − l(T₂).

Поэтому кривая AB спрямляема и

|AB| ≤ |AC| − l(T₂).

Но теперь для любого разбиения T₂ кривой BC

l(T₂) ≤ |AC| − |AB|.

Следовательно, кривая BC спрямляема и

|BC| ≤ |AC| − |AB|

т. е.

|AB| + |BC| ≤ |AC|.