Длина кривой

2) Пусть спрямляемы кривые AB и BC, а T — произвольное разбиение кривой AC. Если точка B не входит в это разбиение, то добавим её и получим разбиение T⁺, которое распадается на разбиения T₁ и T₂ кривых AB и BC. При этом

l(T) ≤ l(T ⁺) = l(T₁) + l(T₂),

так как

l(T₁) ≤ |AB|, l(T₂) ≤ |BC|,

то

l(T) ≤ |AB| + |BC|.

Отсюда следует, что кривая AC спрямляема и

|AC| ≤ |AB| + |BC|.

Из пунктов 1) и 2) следует, что

|AC| = |AB| + |BC|.