Метод итераций (последовательных приближений)

Замечание

f(x) = 0 ⇔ x = x + cf(x)⇔ x = φ(x) (φ(x) = x + cf(x))

x₁ = φ(x₀)

x₂ = φ(x₁)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

x_n = φ(x_n–1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Принцип сжимающих отображений

Пусть выполнены следующие условия

(1) ∀ x ∈ [a, b] φ(x) ∈ [a, b],

(2) ∃ q ∈ (0, 1) ∀ x, y ∈ [a, b] |φ(x) − φ(y)| ≤ q|x − y|

Тогда на отрезке [a, b] существует и притом единственное решение уравнения x = φ(x).

При этом метод итераций для x₀ ∈ [a, b] дает последовательность, сходящуюся к решению этого уравнения. Более того