Метод итераций (последовательных приближений)
Доказательство
В силу условия (1) последовательность итераций определена. Покажем, что она фундаментальна.
Лемма
При m ≥ n
|xm − xn| ≤ qn|xm−n − x0|
В самом деле
|xm − xn| = |φ(xm−1) − φ(xn−1)| ≤ q|xm−1 − xn−1|
Применяя при m ≥ n полученное неравенство n раз, получаем
|xm − xn| ≤ q|xm−1 − xn−1| ≤ q2|xm−2 − xn−2| ≤ … ≤ qn|xm−n − x0|
Следствие
|xn+1 − xn| ≤ qn|x1 − x0|
20/27
