Верхняя и нижняя грань множества. Верхний и нижний предел последовательности

Def.

Число называется точной верхней гранью числового множества X, если

1) ∀ x ∈ X ⇒ x ≤ 

2) ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ X: x >  − ε

Обозначение = sup X

Def.

Число называется точной нижней гранью числового X, если

1) ∀x ∈ X ⇒ x ≥ 

2) ∀ε > 0 ∃ x_ε ∈ X: x <  + ε

Обозначение = inf X

Факт 1

Любое ограниченное числовое множество X имеет sup X и inf X.

Пусть B — множество предельных точек последовательности {a_n}

Def.

Верхним пределом {a_n}, обозначение называют число, равное sup B