Непрерывность функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке
Def.
Функция непрерывная на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Def.
Функция ограниченная на отрезке, если
∃ M > 0: ∀ x ∈ [a; b] → |f(x)| < M
Теорема 2
Функция непрерывная на отрезке ограничена на этом отрезке.
Доказательство
От противного ∀n ∈ N ∃ xn: |f(xn)| > n
Выбираем сходящуюся подпоследовательность: .
Функция y = f(x) непрерывная в точке x = c → ограничена в окрестности точки x = c. Противоречие.