Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на отрезке

Def.

A = inf E_f ⇔ 1) A ≤ f(x), ∀ x ∈ [a; b]

           2) ∀ ε > 0 ∃ x = x_ε: f(x_ε) < A + ε

Def.

B = sup E_f ⇔ 1) f(x) ≤ B, ∀ x ∈ [a; b]

           2) ∀ ε > 0 ∃ x = x_ε: f(x_ε) < B − ε

Теорема 3

Для любой непрерывной на отрезке [a; b] функции y = f(x) существуют c₁, c₂ ∈ [a; b]: f(c₁) = A, f(c₂) = B.

Доказательство

A = inf E_f → ∀ n ∈ N ∃ x_n: A ≤ f(x_n) < A +

f(c₁) = A