Определение производной. Производная и дифференциал
Определение
Производной функции f(x) в точке x = a называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда аргумент x стремится к точке a.
С понятием производной тесно связано понятие дифференциала и понятие дифференцируемой функции.
Определение
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x = a если её приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции и бесконечно малой величины более высокого порядка, чем эта линейная функция, т. е.
f(x) − f(a) = A(x − a) + α(x)(x − a)
где предел функции α(x) при x → a равен нулю.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема
Пусть функция f(x) имеет производную в точке x = a, тогда она дифференцируема в этой точке и постоянную A, входящую в формулу для приращения, можно взять равной f ′(x).
Обратно. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x = a, тогда она имеет производную в этой точке и постоянная A, входящая в формулу для приращения, равна f ′(a).
