Определение производной. Производная и дифференциал

Дифференциал

Слагаемое A(x − a), входящее в определение дифференцируемости, носит название главной линейной частью приращения функции в точке x = a или дифференциалом функции в этой точке

df(a) = A(x − a).

Как было только что доказано, необходимым и достаточным условием существования дифференциала является существование производной функции в данной точке. При этом величина A равна производной функции так, что

df(a) = f ′(a)(x − a).

Дифференциалом dx независимой переменной x в точке x = a называется её приращение

dx = x − a.

Таким образом, дифференциал функции

df(a) = f ′(a)dx.

На практике обычно принято записывать все формулы, в которые входит производная или дифференциал, не вводя специального обозначения для фиксированной точки a, а использовать для неё традиционное обозначение x. В этом случае неявно подразумевается наличие ещё одного символа для обозначения независимой переменной, который не пишется. Это позволяет записать последнюю формулу в виде равенства

df(x) = f ′(x)dx.