Основные правила вычисления производных

Производная «показательно-степенной» функции

Показательно-степенной функцией условно называют функцию вида

Производную этой функции можно найти если предварительно сделать тождественные преобразования

y = f(x)^φ(x) = e^{ln(f(x)φ(x))} = e^φ(x)lnf(x)

И затем использовать правило дифференцирования сложной функции

y′ = (e^φ(x)lnf(x))′ = e^φ(x)lnf(x)(φ(x)lnf(x))′ =

= f(x)^φ(x)(φ′(x)lnf(x) + φ(x)(lnf(x))′) =

= f(x)^φ(x)(φ′(x)lnf(x) + φ(x)(f ′(x)/f(x)) =

= f(x)^φ(x)(lnf(x))φ′(x) + φ(x)f(x)^φ(x)−1f ′(x)

В результате получается простая формула, которую легко запомнить. Нужно продифференцировать функцию как показательную, затем как степенную и полученные результаты сложить.