Теорема Ролля

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема внутри интервала (a; b), причём на концах отрезка функция f(x) принимает одинаковые значения, т. е. f(a) = f(b).
Тогда существует такая точка ξ ∈ (a; b) в которой f ′(ξ) = 0.

Если функция f(x) постоянна, то её производная равна нулю всюду, тогда утверждение теоремы очевидно. Предположим, теперь, функция f(x) не является постоянной.

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она принимает на нём свои максимальное и минимальное значения. Поэтому на отрезке [a; b] существуют такие точки α и β, что при всех x ∈ [a; b] f(α) ≤ f(x) ≤ f(β).

Точки α и β являются, таким образом, точками экстремума функции f(x).

Так как функция f(x) не является постоянной, то f(α) ≠ f(β). По условию теоремы f(a) = f(b), поэтому хотя бы одна из точек α и β является внутренней точкой отрезка и по теореме Ферма в этой точке производная равна нулю.