Теорема Лагранжа

Следствие

Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале (a; b). Тогда для любых точек α, β ∈ (a, b) найдётся точка ξ, лежащая между α и β (т. е. либо α ≤ ξ ≤ β либо β ≤ ξ ≤ α), для которой

f(β) − f(α) = f ′(ξ)(β − α).

1) α < β По теореме Лагранжа.

f(β) − f(α) = f ′(ξ)(β − α)

2) α > β По теореме Лагранжа.

f(α) − f(β) = f ′(ξ)(α − β)

3) α = β Обе части равенства равны нулю, ξ = α.

Замечание

Возникает вопрос: является ли точка ξ произвольной точкой интервала, т. е. можно ли для всякой точки ξ из интервала (a; b) указать две другие точки x₁ и x₂ из этого интервала такие, что

f(x₂) − f(x₁) = f ′(ξ)(x₂ − x₁)   (x₁ < ξ < x₂)

Ответ на этот вопрос отрицательный. Рассмотрим функцию f(x) = x³ на отрезке [−1; 1] и точку ξ = 0.
Производная f ′(x) = 3x² в точке ξ = 0 равна нулю. Поэтому требуемое равенство имеет вид

x₂³ − x₁³ = 0·(x₂ − x₁) = 0,

что выполнено быть не может так как x₁ ≠ x₂.