Теорема Лагранжа

Достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции

Строго возрастающая функция: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Строго убывающая функция: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Если для дифференцируемой в интервале (a; b) функция f(x) производная f ′(x) > 0 в этом интервале, то функция f(x) строго возрастает.

Пусть x₁ < x₂. По формуле Лагранжа f(x₁) − f(x₂) = f ′ (ξ)(x₁ − x₂). Следовательно, f(x₁) < f(x₂), т. е. f(x) строго возрастает.

Если для дифференцируемой в интервале (a; b) функции f(x) производная f ′(x) < 0 в этом интервале, то функция f(x) строго убывает.