Правило Лопиталя
Покажем, что этот же интервал отвечает числу ε в определении предела и для отношения функций. В самом деле, пусть
x ∈ (aε; b). По теореме Коши для отрезка [x; b]
Так как x ∈ (aε; b), то также и точка ξ ∈ (aε; b). В силу выбора интервала (aε; b)
Поэтому A является пределом отношения функций при x → b − 0.
Следствие
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале (x0 − δ; x0 + δ) кроме, быть может, точки x0. Причём всюду на этом же множестве производная g′(x) ≠ 0. Пусть также при x → x0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того
Тогда также и
33/35
