Теорема Ферма

Пусть во внутренней точке своей области определения функция имеет экстремум. Если в этой точке существует производная, то она равна нулю.

1. Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ максимум. Тогда у этой точки существует окрестность, в которой f(x) ≤ f(x₀). В этом случае при x < x₀ мы имеем неравенство

Переходя в этом неравенстве к пределу, получаем, что f ′(x₀) ≥ 0.

С другой стороны, при x > x₀ мы имеем неравенство

Переходя к пределу в этом неравенстве, получаем, что f ′(x₀) ≤ 0. Отсюда следует, что f ′(x₀) = 0.