Общий вид первообразной

Следствие

Критерий постоянства функции

Дифференцируемая на промежутке функция постоянна на нём тогда и только тогда, когда производная равна нулю в любой точке этого промежутка.

Доказательство

1) F(x) = const ⇒ F′(x) = 0

2) F′(x) = 0 ⇒ для любых x₁, x₂

F(x₂) − F(x₁) = F′(ξ)(x₂ − x₁) = 0·(x₂ − x₁) = 0.

∀ x₁, x₂ F(x₁) − F(x₂) = 0 ⇒ F(x) = const

Доказательство

F₁′(x) = f(x), F₂′(x) = f(x)

F(x) = F₁(x) − F₂(x) ⇒ F′(x) = F₁′(x) − F₂′(x) = 0

F(x) = const ⇒ F₁(x) − F₂(x) = const ⇒