Неопределённое интегрирование

Операция перехода к первообразной имеет своё название — неопределённое интегрирование, и обозначение: ∫f(x)dx.

Определение

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется её неопределённым интегралом и обозначается

∫f(x)dx = F(x) + C,

где C ∈ R, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) — подынтегральной функцией.

Утверждение

Дифференцирование и неопределённое интегрирование — взаимообратные операции с точностью до постоянной C.

Доказательство

d∫f(x)dx = d(F(x) + C) = F′(x)dx = f(x)dx,

∫dF(x)dx = ∫F′(x)dx = F(x) + C.

Следствие

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

Доказательство

(∫f(x)dx)′ = (F(x) + C)′ = F′(x) = f(x).