Производная сложной функции

Теорема

Пусть z = a предельная точка области определения сложной функции F(z) = f(g(z)), функция g(z) дифференцируема в точке z =  a и

dg(a) = Bdz,

пусть также функция f(x) дифференцируема в точке b = g(a) и

df(b) = Adx,

Тогда сложная функция F(z) дифференцируема в точке z = a и

dF(a) = (AB)dz.

f(x) − f(b) = A(x − b) + α(x)|x − b|,

g(z) − g(a) = B(z − a) + β(z)|z − a|,

F(z) − F(a) = f(g(z)) − f(g(a)) =

= A(g(z) − g(a)) + α(g(z))|g(z) − g(a)| =

= A(B(z − a) + β(z)|z − a|) + α(g(z))|g(z) − g(a)| =

= AB(z − a) + [Aβ(z))|z − a| + |α(g(z))|g(z) − g(a)|].

Остаётся доказать, что

(Aβ(z))|z − a| + |α(g(z))|g(z) − g(a)| = o(|z − a|).

или

(Aβ(z))|z − a| = o(|z − a|),   α(g(z))|g(z) − g(a)| = o(|z − a|).