Интегрирование рациональных функций

Предварительные замечания

а) Если a — вещественный корень многочлена, то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x − a)^αP₁(x), α ≥ 1, P₁(a) ≠ 0.

α называется кратностью корня.

Другое эквивалентное определение кратности корня в терминах производных: α — это порядок 1-й отличной от нуля производной в точке a:

P'(a) = P''(a) = … = P^{(α − 1)}(a) = 0, P^(α)(a) ≠ 0.

б) Если w = u + iv, (v ≠ 0, i² = −1) — комплексный корень многочлена с действительным коэффициентом, то сопряженное число  = u − iv также является корнем многочлена и тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x² + px + q)^βP₁(x),   β > 0,   P₁(w) ≠ 0,

(x − w)(x − ) = x² + px + q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где А — старший коэффициент многочлена, а₁, а₂, …, а_r — действительные корни многочлена, кратностей α₁, α₂, …, α_r соответственно, w₁, w₂, …, w_s — комплексные корни кратностей β₁, β₂, …, β_s, а

x² + p_kx + q_k = (x − w_k)(x − _k).