Объём тела в пространстве

• 5. Тело G разбивается на кубики, плоскостями перпендикулярными осям координат. В разбиении участвуют только те плоскости, которые имеют с телом общие точки. Среди образовавшихся кубиков имеются те, у которых все внутренние точки принадлежат G (группа A) и кубики, у которых есть внутренние точки из G, а так же не принадлежащие G (группа B). Объединение кубиков группы A называют ступенчатым телом, вписанным в G. Объединение кубиков, имеющих с G общие точки (группа A и B), составляет ступенчатое тело, описанное около G.

Верхний и нижний объёмы

При последующих разбиениях τ′ > τ объёмы вписанных ступенчатых тел увеличиваются: V_впис(τ′) ≥ V_впис(τ), а объёмы описанных ступенчатых тел уменьшаются: V_опис(τ′) ≤ V_опис(τ).

Нижним объёмом тела G называют число .

Верхним объёмом тела G называют число .

Тело G измеримо или имеет объём, если .

Тело измеримо тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевой объём (меру ноль), т. е. может быть покрыта кубиками как угодно маленького суммарного объёма (кубиками группы B). Если граница ограниченного тела G кусочно-гладкая, то тело всегда измеримо.