Задачи и вопросы

Заметим, что задачи на несобственные интегралы бывают двух видов:

1) надо найти значение интеграла;

2) надо ответить на вопрос, сходится ли указанный интеграл.

Первая задача предполагает, что удалось найти первообразную для функции и далее по определению, надо найти предел. Если этот предел существует, то мы ответили на вопрос о сходимости и нашли предел, если предел не существует, то интеграл расходится.

Вторая задача может быть решена так как описано выше, но очень часто первообразную найти не удаётся, но ответить на вопрос о сходимости можно, используя признаки сравнения или какие-то ещё теоремы.

Верны ли следующие утверждения?

1. Если сходится несобственный интеграл первого рода, то подынтегральная функция стремится к нулю.

2. Если подынтегральная функция стремится к нулю, то несобственный интеграл первого рода сходится.

3. Если 1) сходится несобственный интеграл первого рода, и 2) существует конечный предел подынтегральной функции, то подынтегральная функция стремится к нулю.

4. Если 1) сходится несобственный интеграл первого рода, и 2) подынтегральная функция монотонна, то подынтегральная функция стремится к нулю.

Вопрос по несобственным интегралам второго рода

Если подынтегральная функция стремится к бесконечности при x → b, то несобственный интеграл второго рода расходится.