Ряд, образованный геометрической прогрессией. Признаки сравнения

Теорема

Пусть даны два ряда и причём ∀ n ⇒ v_n > 0, и существует конечный

   (3)

Тогда оба ряда сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда из (3) ⇒ для или

Значит, с ≠ 0. По предыдущей теореме и  замечанию 2 получаем, что ряд сходится. 

Пусть ряд расходится. Тогда ⋅ u_n = с ⋅ u_n > v_n, с ≠ 0. По предыдущей теореме и  замечанию 2 получаем, что ряд расходится.