Признак Даламбера в допредельной и предельной форме

Теорема

Признак Даламбера в допредельной форме

Пусть все члены ряда положительны: ∀ n ⇒ u_n > 0. Тогда

— если ∀ n ⇒ ≤ q < 1, то ряд сходится,

— если ∀ n ⇒ ≥ 1, то ряд расходится.

Доказательство

Пусть ряд ∀ n ⇒ ≤ q < 1, тогда ≤ qⁿ ⇒ u_n+1 < qⁿ ⋅ u₁, но ряд сходится при q < 1. По мажорантному  признаку сходится. Пусть теперь ∀ n ⇒ ≥ 1, тогда u_n ≥ u₁ ⇒ ≥ u₁ > 0 ⇒ не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится.