Признак Даламбера в допредельной и предельной форме

Теорема

Признак Даламбера в предельной форме

Пусть все члены ряда положительны: ∀ n ⇒ u_n > 0, и Тогда

— если q < 1, то ряд сходится,если q > 1, то ряд расходится,

— существуют сходящиеся и расходящиеся ряды при q = 1.

Доказательство

Пусть q < 1 возьмём ε: q + ε < 1. Для такого ε ∃ N: ∀ n > N ⇒ < ε или q − ε < < q + ε. Поскольку выполнено условие < q + ε < 1, то ряд  сходится по предыдущей теореме (в допредельной форме).

Пусть теперь q > 1 возьмём ε: q − ε > 1. Для него ∃ N: ∀ n > N ⇒ < ε или q − ε < < q + ε. Поскольку выполнено условие > q − ε > 1, то ряд расходится по предыдущей теореме (в допредельной форме).