Признак Коши в допредельной и предельной форме

Теорема

Признак Коши в допредельной форме

Пусть все члены ряда неотрицательны, N₀ — некоторый номер. Тогда 

— если ∀ n > N₀ ⇒ ≤ q < 1, то ряд сходится,

— если ∀ n > N₀ ⇒ ≥ 1, то ряд расходится.

Доказательство

Пусть ∀ n > N₀ ⇒ ≤ q < 1, тогда начиная  с N₀ u_n ≤ qⁿ, но ряд сходится при q < 1. По мажорантному  признаку  сходится.

Пусть теперь ∀ n > N₀ ⇒ ≥ 1, тогда u_n ≥ 1 ⇒ ≥ 1 > 0 ⇒ не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится.