Признак Коши в допредельной и предельной форме

Теорема

Признак Коши в предельной форме

Пусть все члены ряда неотрицательны  и Тогда 

— если q < 1 то ряд сходится, если q > 1, то ряд расходится,

— существуют сходящиеся и расходящиеся ряды при q = 1

Доказательство

Пусть q < 1 возьмём ε: q + ε < 1. Для такого ε ∃ N: ∀ n > N ⇒| − q | < ε или q − ε < < q + ε.

Поскольку выполнено условие < q + ε < 1, то ряд  сходится по предыдущей теореме (в допредельной форме).

 

Пусть теперь q > 1 возьмем ε: q − ε > 1. Для него ∃ N: ∀ n > N ⇒| − q | < ε или q − ε < < q + ε.

Поскольку выполнено условие > q − ε > 1, то ряд  расходится по предыдущей теореме (в допредельной форме).