Понятие числового ряда и его сходимости

Пример

Доказать по определению, что ряд расходится.

Решение

Можно указать две подпоследовательности последовательности частичных сумм, имеющие различные пределы:

Следовательно, последовательность частичных сумм предела не имеет, и ряд расходится.

Понятия сходимости ряда и последовательности тесно связаны. Так сходимость ряда есть сходимость  последовательности его частичных сумм . Верно и обратное. Для любой последовательности можно построить такой ряд, для которого члены этой последовательности являются частичными суммами:

u₁ = a₁,

u₂ = a₂ − a₁,

...

u_n = a_n − a_n−1,

...

Тогда частичными суммами ряда будут элементы последовательности

S₁ = a₁,   S₂ = a₂, ...,   S_n = a_n, ...