Числовые ряды

Теорема 1.1

Критерий Коши сходимости числового ряда

Утверждение

сходится   ⇔   ∀ ε > 0   ∃ N ∈ :  

∀ n > N   ∀ p ∈     < ε.

Доказательство

⇒ (Необходимость)

Нам дано, что ряд сходится, то есть ∃ число S:

∀ ε > 0   ∃ N ∈ : ∀ n ≥ N   .

Рассмотрим сумму

⇐ (Достаточность)

Числовая последовательность является фундаментальной по условию теоремы. Убедимся, что она сходится к некоторому числу.